高三数学（文）第一轮复习：球部分复习人教版VIP专享VIP免费

高三数学（文）第一轮复习：球部分复习人教版【本讲教育信息】一.教学内容：球部分复习二.知识结构：球性质体积表面积【典型例题】[例1]在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别是249cm和2400cm，球心不在截面间，求球面面积。解题：如图1，设球半径为R，由已知CE=7，AF=20，EF=9则由EFOFOE，即92072222RR，解得R2=625250042RS即球面面积为22500cm图1[例2]过半径为R的球面上一点作两两垂直的弦SA、SB、SC（1）求证：222SCSBSA为定值；（2）求三棱锥S—ABC的体积的最大值。解题：（1）如图2，设SA、SB确定的平面截球面为球小圆O1 SA⊥SB∴AB为小圆直径，连结SO1并延长交小圆于D，连结SD SC⊥SA，SC⊥SB∴SC⊥平面SAB又由SDC平面SAB∴SC⊥SD∴截面SCD为球大圆，即CD过球心O∴222222SCSBSASCSDCD而CD=2R故22224RSCSBSA图2（2）三棱锥体积设为V，则VVVSABCABCS用心爱心专心故23222)3(61213131SCSBSASCSBSASCSVSAB32322734)34(61RR当且仅当SA=SB=SC时，三棱锥S—ABC取得最大值32734R小结：（1）在解球的问题时，经常利用截面，把球的问题转化为圆的问题来处理。（2）解最值问题的一般方法是建立目标函数，利用代数方法求该函数的最值，本题用到了均值不等式，即若Rcba、、，则332223cbacbaabc，当且仅当cba时，等号成立。[例3]一等边圆锥（轴截面为正三角形）内接于一球，若圆锥底面半径为r，求该球的体积和表面积。解题：如图3，设圆锥的轴截面截球面为大圆O，S为圆锥的顶点，SC为轴，又设球半径为R由ACSMCA~，则ACCMSCAC，即CMSCAC2由rAC，则rRCMrrSC32,360tan故)32()3(2rRrrrR332由球的体积公式和表面积公式，得V332733234rR223164rRS图3小结：把两个或两个以上的简单几何体组成在一起而形成的几何体叫结合体或组合体，它的构成一般有切接形式，若结合只涉及有公共旋转轴的旋转体，一般利用轴截面转化为平面问题来处理。[例4]设地球上有A、B两点，它们各在北纬30°、60°的纬度圈上，且经度差为90°，求A、B两点间的球面距离。解题：如图4，设A、B两点分别位于北纬30°、60°的纬度圈⊙O1和⊙O2上260cos,2330cos21RRBORRAO用心爱心专心RRROOOOOO21330sin60sin1221利用异面直线上两点间距离公式，有90cos22122212212BOAOBOAOOOAB222)232()90cos212324143213(RRAB在球大圆ABO中，设弦AB所对的圆心角为，则由余弦定理432cos222OBOAABOBOA43arccos故43arccosRRAB即A、B两点间的球的距离为43arccosR图4[例5]如果正四棱柱的所有顶点都在一个半径为R的球面上，求这样的正四棱柱体积的最大值。解题：如图5，取正四棱柱对角面所在平面，截得球大圆O，设正四棱柱底面正方形边长为a，高为h由aAD2，222ACDCAD，有222)2()2(Rha即22242Rha设正四棱柱的体积为V，则222224aRahahSV232322222222)34()324()24(RaRaaaRaa即体积的最大值为3938R图5[例6]将两个棱长相等的正四面体和正八面体拼接起来，使其中一个面完全重合，求拼接所得的新的多面体的面数。用心爱心专心解题：如图6，ABCDEF为正八面体，BCEG为正四面体，取BE中点M，连结AG、GM、CM，则AMC是二面角A—BE—C的平面角，GMC是二面角G—BE—C的平面角由正八面体和正四面体的性质易得31cos,31cosGMCAMC故AMC与GMC互补，即面ABE与面GBE共面同理可证面BCF与面BCG共面，面GEC与面DEC共面所以，拼接所得的新的多面体为七面体。图6[例7]求半径为R的球内接正三棱锥的最大体积。解：在正三棱锥S—ABC中，作SG⊥面ABC于G，则G为正ABC的中心在SG上取一点O，使OS=OA=OB=OC=R设AB=hSGa,，则OG=Rh设aAB，hSG，则RhOG在OGCRt中，22222231)33()(hRhaaRhR)2(4343313122hRhhhahSVABCABCS3]3)24([83)24(83)2(43hRhhhRhhhRhh332738276483RR当且仅当hRh...