高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）（命题者的首选资料）1.已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.解:()Ⅰ先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0g(0)=0.因为,所以,即>0,从而————10分()Ⅲ因为,所以,,用心爱心专心所以————①,————12分由()Ⅱ知:,所以=,因为,n≥2,所以<<=————②.————14分由①②两式可知:.————16分2.已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；⑶求证：解：⑴又 为锐角∴∴⑵ ∴都大于0∴∴⑶∴∴用心爱心专心 ,,又 ∴∴∴3.（本小题满分14分）已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；（Ⅲ）证明：解：（1），……………………2分故数列是首项为2，公比为2的等比数列。……………………3分，…………………………………………4分（2），……………5分①②②—①得，即③……………………8分④④—③得，即……………………9分所以数列}{nb是等差数列（3）………………………………11分设，则…………13分………………………………14分用心爱心专心4.设（e为自然对数的底数）（I）求p与q的关系；（II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（III）证明：①；②（n∈N，n≥2）.解：（I）由题意（II）由（I）知：令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分①，∴g(x)在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意.………………………………………………5分②当p>0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向上抛物线，称轴为x=∈（0，+∞）.∴h(x)min=p－.只需p－≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x)≥0，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，∴p≥1适合题意.…………………………7分③当p<0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+∞），只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+∞)恒成立.∴g′(x)<0，∴g(x)在（0,+∞）单调递减，用心爱心专心∴p<0适合题意.综上①②③可得，p≥1或p≤0.……………………………………9分（III）证明：①即证：lnx－x+1≤0(x>0)，设.当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；∴x=1为k(x)的极大值点，∴k(x)≤k(1)=0.即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.………………………………11分②由①知lnx≤x－1,又x>0，∴结论成立.…………………………………………………………………………14分5.已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn，求证：．用心爱心专心解：（Ⅰ）∴当时，，即是等比数列．∴；………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，则有而故，解得，再将代入得成立，所以．（III）证明：由（Ⅱ）知，所以，由得所以，从而．即．…………………………14分6.已知数列满足,，．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；用心爱心专心（3）设，且对于恒成立，求的取值范解：（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2) a1＝5，a2＝5∴a2＋2a1＝15故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列…………5分（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n由待定系数法可得(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)即an－3n＝2(－2)n－1故an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n………9分（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－)n令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()nSn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1…………11分得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1＝－n()n+1＝2[1－()n]...
