高考导数应用大盘点高考对导数部分的要求一般有三个层次：第一个层次是导数的概念，求导的公式和求导的法则；第二个层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三个层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性的内容等有机地结合在一起，设计综合试题．高*考*资+源-网本文精选高考中的相关试题，进行分类导析，供老师、同学们复习参考．1．考查导函数的图象及其性质．例1（江西卷）已知函数()yxfx的图象如图１所示（其中()fx是函数()fx的导函数），下面四个图象中()yfx的图象大致是（）．分析与解：由图1得(1)(1)0ff，从而导出1x是函数()fx的极值点是解本题的关键．由1x是函数()fx的极值点，又在(10)，上，()0fx；在(01)，上，()0fx，因此在(11)，上，()fx单调递减，故选（C）．点评：要注意，若00()Pxy，是函数()yfx的极值点，则有0()0fx，但若0()0fx，则00()Pxy，不一定是函数()yfx的极值点．要判断一个点是否为极值点，还要检验点P两侧的单调性是否不同．2．与函数交汇，考查导数的概念和计算．用心爱心专心例2（全国卷Ⅱ）已知a≥0，函数2()(2)exfxxax．（1）当x为何值时，()fx取得最小值？证明你的结论；（2）设()fx在[11]，上是单调函数，求a的取值范围．分析与解：（1）对函数()fx求导数，得2()(222)exfxxxaxa．令()0fx，得22(1)20xaxa．解得2111xaa，2211xaa，其中12xx．当x变化时，()fx，()fx的值变化如下表x1()x，1x12()xx，2x2()x，()fx00()fx极大值极小值∴()fx在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值． 0a≥，11x，20x≥，()fx在12()xx，上为减函数，在2()x，上为增函数．而当0x时，()(2)e0xfxxxa；当0x时，()0fx．所以当211xaa时，()fx取得最小值．（2）当0a≥时，()fx在[11]，上为单调函数的充要条件是2x≥，即2111aa≥，解得34a≥．于是()fx在[11]，上为单调函数的充要条件是34a≥，即a的取值范围是34，．3．与解析几何交汇，考查导数的几何意义———切线的斜率．例3（福建卷）如图2，P是抛物线21:2Cyx上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q．（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；用心爱心专心（2）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．分析与解：用导数求出直线的斜率，再用求轨迹的基本方法展开，注意直线、曲线的弦中点问题“设而不求法”及求最值时的“重要不等式”的灵活使用．（1）把2x代入212yx，得2y．∴点P坐标为(22)，．由212yx，得yx，∴过点P的切线的斜率2k切，直线l的斜率112lkk切．∴直线l的方程为12(2)2yx，即260xy．（2）设00()Pxy，，则20012yx． 过点P的切线斜率0kx切，当00x时不合题意，∴00x．∴直线l的斜率011lkkx切，直线l的方程为200011()2yxxxx．①设11()Qxy，，()Mxy，，则由20012yx，21112yx，012xxx．∴220101010101111()()()222yyxxxxxxxxx．∴010101lyyxkxxx．∴01xx，将上式代入①并整理，得2211(0)2yxxx就是所求的轨迹方程．由0x知20x，∴2222111212122yxxxx≥．用心爱心专心仅当2212xx，即412x时取等号，所以点M到x轴的最短距离是21．4．与函数、不等式交汇，考查导数的运算和性质．例4（天津卷）已知函数3()(0)fxaxcxda是R上的奇函数，当1x时，()fx取得极值2．（1）求()fx的单调区间和极大值；（2）证明对任意1x，2(11)x，，不等式12()()4fxfx恒成立．分析与解：从函数的性质及导数与函数极值的关系着手．（1）由题意()()fxfx，xR，得0d．由2()3fxaxc，()fx在1x处取得极值，必有(1)0f，故30ac．①由(1)2f，得2ac．②联立①②，得1a，3c．因此3()3fxxx...
