高三数学高考复习：集合穿针 转化引线VIP免费

集合穿针转化引线——谈集合思想的应用集合思想渗透到高中数学的各个分支中，它可与常用逻辑用语、函数、方程和不等式等许多知识综合起来考查．在解题时首先需要我们能读懂集合语言，再用相关的知识解决问题．本文借助集合思想这根针，通过几道典型例题，谈谈如何将集合语言转化为其它数学语言，解决相关问题．高.考-资.源-网一、集合与常用逻辑用语例1若2:3840:(1)(2)0pxxqxx，，则p是q的（）．（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件解析：∵2:3840pxx，即23x或2x，∴2:23px≤≤．∵:(1)(2)0qxx，即1x或2x，∴:12qx≤≤．由集合关系知：pq，而qp¿．∴p是q的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．例2若kR，则“3k”是“方程22133xykk表示双曲线”的（）．（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件解析：方程22133xykk表示双曲线(3)(3)03kkk或3k．故选（A）．二、集合与函数例3已知集合2{2}{2}PyyxxQxyxxRR，，，，那么PQ等于（）．（A）（0，2），（1，1）（B）｛（0，2），（1，1）｝（C）｛1，2｝（D）{2}yy≤解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P集合是函数22yx中的y的取值范围，故P集合的实质是函数22yx的值域．而Q集合则为函数2yx的定义域，从而易知{2}PQyy≤，选（D）．评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元素而错选（Ｂ）或（Ｃ）．三、集合与方程例4已知2{(2)10}{0}AxxpxxBxxR，，，且AB，求实数p的取值范围．解析：集合A是方程2(2)10xpx的解集，则由AB，可得两种情况：①A，则由2(2)40p，得40p；②方程2(2)10xpx无正实根，因为1210xx，则有0(2)0p，，≥于是0p≥．综上，实数p的取值范围为{4}pp．四、集合与不等式例5已知集合222{412}{(21)(1)0}AaaxxxaBxxmxmm恒成立，≥，若AB，求实数m的取值范围．解析：由不等式22412axxxa≥恒成立，可得2(2)4(1)0axxa≥，（※）（1）当20a，即2a时，（※）式可化为34x≥，显然不符合题意．（2）当20a时，欲使（※）式对任意x均成立，必需满足200a，，≤即2244(2)(1)0aaa，，≤解得{2}Aaa≥．集合B是不等式2(21)(1)0xmxmm的解集，可求得{1}Bxmxm，结合数轴，只要12m即可，解得1m．五、集合与解析几何例6已知集合2{()20}Axyxmxy，和{()1002}Bxyxyx，，≤≤，如果AB，求实数m的取值范围．解析：从代表元素()xy，看，这两个集合均为点集，又220xmxy及10xy是两个曲线方程，故AB的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线220xmxy与线段10(02)xyx≤≤有公共点，求实数m的取值范围．”由22010(02)xmxyxyx，，≤≤，得2(1)10(02)xmxx≤≤，①∵AB，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解．首先，由2(1)40m≥，得3m≥或1m≤．当m≥3时，由12(1)0xxm及121xx知，方程①只有负根，不符合要求；当1m≤时，由12(1)0xxm及1210xx知，方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间(01]，内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内．综上，所求m的取值范围是(1]，．