圆锥曲线——概念的应用一、第一定义的应用：例1：（1）设定点，动点P满足则动点P的轨迹是什么？（2）若一个动点P（x,y）到两定点A（-1，0），B（1，0）的距离之差的绝对值为定值，求点P的轨迹。例2：（1）方程表示什么曲线？（2）方程表示什么曲线？（3）方程表示什么曲线？例3：（1）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，直线l过点F2交椭圆C于A、B两点，求ABF1的周长。（2）已知双曲线的方程为，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，求ABF1的周长。（3）抛物线y2=4x截直线y=2x+b得弦AB，若|AB|=，F是抛物线的焦点，求ABF的周长。例4：（1）一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程。（2）求与圆C：内切，且过点A（2，0）的动圆圆心M的轨迹方程。（3）已知直线l：y=-1及圆C：，动圆M与l相切且与圆C外切，求动圆圆心M的轨迹方程。（4）在中，BC=2，且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。二、第二定义的应用：例5：（1）椭圆上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，求P到右焦点的距离。（2）若双曲线上一点P到右焦点的距离为8，求点P到左准线的距离。（3）斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长。例6：（1）已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左右焦点，点A（1，1）为椭圆内一点，点P为椭圆上一点：求|PA|+|PF1|的最大值和最小值；求|PA|+|PF2|的最小值。（2）已知双曲线，F为其右焦点，A（4，1）为平面内一点，点P在双曲线上，求|PA|+|PF|的最小值。（3）已知点M（-2，4）及焦点为F的抛物线y=x2,在此抛物线上求一点P使|PM|+|PF|的值最小，并求出最小值。（4）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A（，4），求|PA|+|PM|的最小值。例7：（1）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的左支上，且|PF1||PF2|=32，求的大小。（2）已知双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且，求双曲线方程。（3）在双曲线x2-y2=4上取一点，使该点与焦点的连线互相垂直，求该点坐标。用心爱心专心115号编辑例8：（1）设P（x0,y0）是离心率为e，方程为（）的椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，求证：|PF1|=a+ex0；|PF2|=a-ex0（2）若双曲线（）的左右焦点是F1、F2，P（x0，y0）是双曲线上任意一点，求证：|PF1|=|a+ex0|；|PF2|=|a-ex0|（3）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是F，点P（x0，y0）是抛物线上任意一点，求证：|PF|=x0+例9：（1）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点，证明：若|PF1||PF2|的最大值是（2）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线上任意一点，求证：若|PF1||PF2|的最小值是例10：求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切。例11：过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若|PF|=m，|QF|=n，则。例12：设抛物线方程为y2=2px(p>0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长|AB|=圆锥曲线定义的深层及综合运用圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用例1.如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。二、双曲线定义的深层运用用心爱心专心115号编辑例2.如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3.如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。图3解析：易知抛物线的准线l：，作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y＝－1的最短距离为。评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）...
