华清中学2015－2016学年度第5次自主命题数学（理）试题一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．2．已知向量，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．33.将图像按向量平移，则平移后所得函数的周期及图像的一个对称中心分别为（）A.，B.，C.，D.，4.已知圆和两坐标轴的公共点分别为，，，则的面积为（）A．B．C．D．5．已知，则（）A．B．C．D．6.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．7．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“，使得”的否定是:“对，均有”；③命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件；④若函数在有极值，则或.A．0个B．1个C．2个D．3个8.某三棱锥的三视图如左下图所示，该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．9.执行如右上图所示的程序框图，输出，那么判断框内应填（）A．B．C．D．10.已知函数是上的偶函数，当时，都有成立，若，则（）A.B.C.D.11.在等差数列中，，且，则前项和中最大的是（）A．B．C．D．12．已知抛物线，圆，过点作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所示），则的值正确的是（）A．等于B．最小值是C．等于D．最大值是二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.设常数若的二项展开式中项的系数为，则.14.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有个.（用数字作答）15.某市居民2005-2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系.16.设是数列的前n项和，且，则=.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程.）17.（本小题满分12分）已知四边形ABCD，,,,的面积为，年份20052006200720082009收入x11.512.11313.315支出Y6.88.89.81012（Ⅰ）求（Ⅱ）求AC的长..（本小题满分12分）某权威机构发布了2015年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”，随后，该市某校学生会组织部分同学用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，以小数点后的一位数字为叶)．（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有一人是“极幸福”的概率；（III）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列和数学期望．（本小题满分12分）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的余弦值．（本小题满分12分）已知椭圆C：的焦距为,且椭圆过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）(1)“圆上点处的切线方程为”类比此结论，请写出椭圆上点处的切线方程_______（只需写出结论）.(2)过椭圆C左焦点F的直线交椭圆于两点，过分别作椭圆C的两条切线，求两切线交点的轨迹方程．（本小题满分12分）已知关于的函数，其中，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间内有极值，求的取值范围；（Ⅲ）当时，若有唯一零点，试求．（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如，，；以下数据供参考：，，，）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题10分）选修4—1：几何证明选讲如图，是圆外一点，是切线，为切点，割线与圆相交于点,为的中点，的延长线交圆于点,证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）23.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极...
