高三数学由递推关系求通项公式的数列问题知识点分析VIP免费

由递推关系求通项公式的数列问题通过递推关系求出数列的通项公式，是解决数列问题时经常遇到的，这类问题的处理方法是向特殊数列转化，利用特殊数列的性质求数列的通项公式，下面提供几类有规律的变形。一、递推关系行如：1()nnaafn的数列利用迭加的方法直接求解或利用迭加，迭代法得1(1)(2)(1)naafffn，（2n）然后求解。例1数列{}na中11a，且221212(1),3kkkkkkaaaa，其中1,2,3,k，求数列{}na的通项公式。解：2123kkkaa=21(1)kka3k21ka－21ka=(1)k3k同理21ka－23ka=13k+1(1)k，，313(1)aa（21ka－21ka）+（21ka－23ka）++31aa=（123333kk）+[1(1)(1)(1)kk]从而21ka－1a=31(31)[(1)1]22kk易得到{}na的通项公式：n为奇数时：121231(1)122nnnan为偶数时：2231(1)122nnna二、递推关系形如：1()nnaafn的数列利用迭乘或迭代法可得：1(1)(2)(1)()naafffnfn（n2）例2数列{}na的前n项的和为ns，且1a1，2*()nnanNns，求数列{}na的通项公式解：由2nnans知21(1)nnan-1s（n2）221(1)nnnanann-1s-s又n2时nn-1s-sna则(1)n1(1)nnana（n2）由110a知各项都不等于0，得：111nnanan32121121,,,341nnaaanaaan各项相乘得：12(1)naann2(1)nann（n2）又n=1时适合上式，所以数列{}na的通项公式2(1)nann三、递推关系形如：11nnnnaapaa（p为常数且0p）的数列可化为111nnaa=p求出1na的表达式，再求na例3数列{}na中11a，当n2时其前n项和ns满足21()2nannss-，求数列{}na的通项公式。解：当n2时，21()()2nnn-1nssss-即2nsn-1s=n-1sns111sa0ns0*()nN1112nnss数列1{}ns是以2为公差，11s1为首项的等差数列，1ns=2n-1ns121n当n2时nann-1ss=121n123n=2(23)(21)nn12(23)(21)(1)nnnna(n2)这种类型还有如：1nnnmaapaq可采用取倒数方法转化成为111nnmmaqap形式利用后面的第四类方法解决；又如已知数列{}na中12a且21nnaa，求数列{}na的通项公式可采用两边取对数方法即12lglgnnaa则数列{lg}na是以lg2为首项，12为公比的等比数列。四、递推关系形如：1nnapaq（为p,q为常数且1p）的数列（Ⅰ）可化为1()11nnqqapapp，利用等比数列求出1nqap的表达式，进而求出na（Ⅱ）可由1nnapaq得nap1naq两式相减可得：1nnaa1()nnpaa，利用1{}nnaa成等比数列求出1nnaa，再利用迭代或迭加求出na（Ⅲ）利用迭代法可得：na12321nnnpapqpqpqpqq求和得na例4数列{}na中11a，121nnaa*()nN求数列na解：由题设可得112(1)nnaa，又112a{1}na是以2为首项，以2为公比的等比数列。1na2nna21n注：该题还可以转化为（Ⅱ）或（Ⅲ）求na。五、递推数列形如：1nnnapaq的数列（pq、为常数且0q）（Ⅰ）可化为111nnnnaapqqqq，利用第四种类型求出nnaq后解出na；（Ⅱ）也可利用迭代：2221)nnpappaq（33232()nnpappaq22123()nnnpappaq212()nnnpappaq11nnnapaq由上1n个等式相加得：na11npa+2npq32npq+21npq+2npq+1nq=11npa+121(1)1nnnqpqpqp1nnpqqpq+11npa例5数列{}na中11a，123nnnaa*()nN，求数列{}na的通项公式。解：依题设两边同除以13n可得：11213333nnnnaa即1132133nnnnaa由类型四可得：113(1)2(1)33nnnnaa令13nnnab则112133b且132nnbb{}nb是以23为首项，以23为公比的等比数列，nb2()3n32nnna六、递推数列形如：212133nnnaaa的数列可变形为211()nnnnaaaa就是21()nnnaaa则可从p，...