高三数学理第一轮复习:指数、对数函数人教版【本讲教育信息】一.教学内容:高三第一轮复习:指数、对数函数二.教学重、难点:理解分数指数幂的概念,掌握指数幂的运算性质;掌握指数函数的概念、图象和性质;理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图象和性质;能运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单实际问题。【典型例题】[例1]要使函数ayxx421在]1,(上0y恒成立,求a的取值范围。解:由题意,得0421axx在]1,(上恒成立,即xxa421在]1,(x上恒成立又 xxxx)21()21(421241]21)21[(2x当]1,(x时,值域为]43,(∴43a[例2]已知])1(3[log)(231xxf,求)(xf的值域及单调区间。解: 真数3)1(32x∴13log])1(3[log31231x即)(xf的值域是),1[又0)1(32x,得3131x∴]1,31(x时,2)1(3x单调递增,从而)(xf单调递减;)31,1[x时,)(xf单调递增[例3]已知函数11log)(xmxxfa是奇函数(0a,1a)(1)求m的值;(2)判断)(xf在区间(1,)上的单调性并加以证明;用心爱心专心(3)当1a,)2,(arx时,)(xf的值域是(1,+),求a与r的值。解析:(1) )(xf是奇函数∴)()(xfxf在其定义域内恒成立即11logxmxa11logxmxa∴22211xxm恒成立∴1m或m1(舍去)∴1m(2)由(1)得)1,0(11log)(aaxxxfa任取21xx、),1(设21xx,令11)(xxxt则11)(111xxxt,11)(222xxxt∴)1)(1()(21111)()(2112221121xxxxxxxxxtxt 2121,1,1xxxx∴0,01,011221xxxx∴)()(21xtxt,即11112211xxxx∴当1a时,11log11log2211xxxxaa)(xf在(1,)上是减函数当10a时,)(xf在(1,+)上是增函数(3)当a1时,要使)(xf的值域是(1,+),则111logxxa∴axx11,即011)1(xaxa而1a∴上式化为0111xaax①又)121(log11log)(xxxxfaa∴当1x时,0)(xf当1x时,0)(xf因而,欲使)(xf的值域是(1,+),必须1x用心爱心专心∴对不等式①,当且仅当111aax时成立∴11121aaaar∴1r,32a[例4]设ba,分别是方程03log2xx和032xx的根,求ba及ba2log2的值。解:在直角坐标系中分别作出函数xy2和2logyx的图象,再作直线xy和3xy的图象(如图) xy2与xy2log互为反函数∴它们的图象关于直线xy对称方程03log2xx的根a就是直线3xy与对数函数2logyx的图象的交点A的横坐标,方程032xx的根b就是直线3xy与指数函数2yx的图象的交点B的横坐标。设3xy与xy的交点为M,则M(23,23)而由对称性知M为线段AB的中点∴32Mxba,322log2Mbya[例5]设函数axfx31)((1)若)(xf的定义域为]1,(,求a的取值范围。(2)若)(xf在]1,(上有意义,求a的取值范围。解:用心爱心专心(1)由题意知,031ax的解集为]1,(∴13ax①当0a时,Rx,不合题意②当a0时,ax13∴)1(log3ax∴1)1(log3a∴31a(2)由题意知,031ax在]1,(上恒成立,即xa31在]1,(上恒成立令)(xg=x31,]1,(x,则31)(maxxg∴31a[例6]设函数)14(log)(22mxmxxf(1)若)(xf的定义域为R,求m的取值范围;(2)若)(xf的值域为R,求m的取值范围。解:(1)由题意知,0142mxmx的解集为R①当0m时,成立②当0m时,041602mmm∴410m由①、②知:410m(2)令14)(2mxmxxt,则)(log)(2xtxfy 函数的值域为R∴必有)(xt取到大于0的所有值,即(0,+)}14)(|)({2mxmxxtxt∴041602mmm∴41m[例7]已知]2,21[P,)22(log22xaxy的定义域为Q(1)若QP,求实数a的取值范围;(2)若2)22(log22xax在[21,2]内有解,求a的取值范围。解:(1)...