求函数值域的常用方法湖南祁东育贤中学周友良421600湖南省祁东县洪桥镇一中徐秋蓉在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。11111、直接观察法1111对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。111例1求函数y1=131-的值域。111解：101-013-3故函数的值域是：[1-∞，31]1111111111111121、配方法111配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。11例21、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。111解：将函数配方得：y=（x-1）+4，11x1[-1，2]，1由二次函数的性质可知：1当x1=11时，y=1411当x1=1-11，时1=1811故函数的值域是：[141，81]11131、判别式法11111例3求函数y1=1的值域。11111解：原函数化为关x的一元二次方程（y-11）-x+（y1-111）=101（1）当y≠1时，1xR1,△1=1(-1)-4(y-1)(y-1)1011解得：y（2）当y=1，时，x1=10,而1[1,1]用心爱心专心2故函数的值域为[，]2例4求函数y=x+的值域。解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0222（1）2xR，△=4（y+1）-8y0解得：1-y1+但此时的函数的定义域由x（2-x）20，得：0x2。由△0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△20求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。20x2，y=x+20，=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例5求函数y=值域。2解：由原函数式可得：x2=22则其反函数为：y2=22其定义域为：x2≠2故所求函数的值域为：（-2∞，）222222252、函数有界性法22222222直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。22222222例6求函数y2=2的值域。22222222解：由原函数式可得：=222222>0，>0222222222222222解得：-210，故原函数的值域为(303,3]。33337、换元法3333333通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。3333333例93求函数y3=3x3+3的值域。3333333解：令x-1=t，（t0）则x=+133333 y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可知3333当t=0时，y=31，3当t3→0时，y3→+∞。333故函数的值域为[313，+∞）3333383数形结合法33333其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。333333例103求函数y=+的值域。333333解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣用心爱心专心44上式可以看成数轴上点P（x4）到定点A（24），B（-484）间的距离之和。444由上图可知：当点P在线段AB上时，444y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=104当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，444y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=104444444故所求函数的值域为：[10，+∞]4444444例11求函数y=4+的值域4444解：原函数可变形为：y=+44上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-24，-14）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交...
