高三数学映射与函数【本讲主要内容】映射、函数的概念；函数的定义域、值域以及函数的表示方法【知识掌握】【知识点精析】本节内容以映射定义函数，进而引出函数的基本属性基本概念：1.映射——设集合A、B，如果按照某种对应法则，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一元素与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：A→B。A中的元素在的作用下对应B中的元素，则称为原象，叫做在下的象。理解：映射是有方向的对应：从……到……以元素间的对应定义集合间的映射，A中每个元素都要有对应元素，可以一对一，也可以多对一，就是不允许一对多。2.函数——特殊的映射：建立在两个非空数集上的映射，即是函数，A即是函数的定义域，B包含函数的值域C，表示为，，。3.函数的定义域——使函数有意义的自变量的取值集合。理解：函数有意义函数的值域——在确定的定义域上函数值的集合函数的表示方法【解题方法指导】[例1]在给定的映射，的条件下，的原象是？解：设的原象是，则或，分别求得和∴所求的原象是和此映射是建立在两个有序实数对集合之上的（或理解为点集合）由象寻找原象，利用解方程解之。[例2]判定下列函数是否同一函数（1）与（2）与（3）与（4）与（5）与解（分析）：判断两个函数是否相同函数，应从函数三要素：定义域、对应法则、值域，是否完全相同来检验，而定义域，对应法则一旦相同，值域也就被确定，自然可以判断同否（1）不相同，因为的定义域是，而的定义域为R（2）不相同，定义域不同（3）不相同，对应法则不同，而不是（4）相同，（5）相同，形式不同（字母相异），但本质相同[例3]已知，求的定义域解（分析）：是一个有别于的相对独立的函数，它有其自己的定义域，但与的关系注定了它的定义域要受到的定义域的约束由可得或即的定义域为要使有意义，须使解之得即函数的定义域为注：由可构造出与之相关的诸如的函数研究的定义域，要注意两方面的问题（1）的定义域A（2）的值域是定义域的子集B所求为[例4]已知函数，（为参数）（1）写出的定义域和值域（2）当时，求函数解析式中参数的取值范围（3）当时，如果，求参数的取值范围解：（1）要使有意义，须使即定义域为又∴即的定义域是（2）要使条件，成立，（*）要使（*）成立，即为所求（3）若，则当时，令，且令∴且当时，，故，即所求的范围是本题将求参数范围的问题转化为求函数的值域，也指出诸如换元法求值域的方法一般的，凡是可化为形如二次函数（如上例，与或与等次数为2倍关系的）用换元法较易化归为简单问题[例5]根据条件写出函数的解析式（1）已知，，求（2）已知，，求的表达式解：（1）∴（2）方法一：令∴，，即方法二：分析由已知：作用一次函数的结果仍为一次函数证明也是一次函数设即（）【考点突破】【考点指要】这部分内容在高考中经常以填空、选择或是解答题中综合问题的一部分出现，比较广泛一些复合函数问题也呈常识性出现，如由引出的问题，函数历来是高考中的重点，单纯的定义域，值域及解析式问题多数以小题出现。本节内容概念性强，要准确理解并应用概念解题，容不得半点模糊。定义域、值域又与不等式及函数其它性质联系密切，如单调性、周期性、奇偶性等。【典型例题分析】[例1]（05北京）函数的定义域是。解：且∴函数定义域为[例2]（05天津）设函数，则函数的定义域是。解：由，即的定义域为要使有意义，须使或即的定义域是注：06年湖北也考了类似的一道题，可见复合函数定义域很被关注[例3]（06重庆）已知定义域为R的函数，满足（1）若，求，又若，求；（2）设有且仅有一个实数，使得，求的解析表达式。解：（1）由∴若，（2） 对任意均成立，又有且仅有一个实数，使∴（*）令（（*）对均成立，可令，寻找）或若，则但有两个不同实根，与题设矛盾∴时，令仅一根∴注：本题在确定函数表达式过程中，题目中设置了“准确理解题意”的能力要求，一反过去总结的求表达式的常用方法，如机械的“拼凑”、“换元”、“解方程”等方法，是今后高考中特别强调的考查能力立意的出题思路。【综合测试】1.函数的定义域是（）A.B.C.D.2.已知函数，则集合中元素个数是（）A.0B.1C...
