高三数学数学思想在不等式问题中的体现袁秀英一、分类讨论思想例1.已知不等式，（1）求该不等式中x的集合；（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范围。解：（1）当k>1时，解集为当时，解集为当k<1时，解集为（2）所以评注：当一次项系数为0时，不等式成为两个常数比较大小的形式，与x取值无关。因此，不等式的解集为R（不等式成立时）或（不等式不成立时）。二、转化与化归思想例2.已知a，b，c为正整数，且，求的值。解：因为不等式两边均为正整数，所以不等式与不等式等价，这个等价不等式又可转化为。∴∴即a=2，b=3，c=6评注：将等式与不等式对应等价转化，是转化数学问题的常用且非常有效的手段。三、换元思想例3.解不等式解：若令则∵，且∴∴不等式化为即∴解得用心爱心专心115号编辑从而即∴不等式的解集是四、数形结合思想例4.设a<0为常数，解不等式。解：不等式转化为令函数和其图象如图所示由解得（舍去）∴两个函数图象的交点为由图知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方∴不等式的解集是评注：在不等式的求解过程中，换元法和图象法是常用的技巧。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系。对含有参数的不等式，运用图象法，还可以使得分类标准更加明晰。五、方程思想例5.已知，求证分析：结论可以转化为，恰好是一元二次方程有实根的必要条件。解：由已知可化为，这表明二次方程有实根，从而需要判别式，即成立。六、构造思想例6.解不等式分析：本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做，运算较繁杂。但注意到用心爱心专心115号编辑，且题中出现，启示我们构造函数去投石问路。解：将原不等式化为令则不等式等价于∵在R上为增函数∴原不等式等价于解得七、整体思想例7.已知，且，求的范围。解：令可得∴又可解得评注：题中，且是四个整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整体结构。用心爱心专心115号编辑
