高三数学数列基础知识【本讲主要内容】数列基础知识数列的概念、数列的通项公式、数列的递推公式、数列通项公式与前n项和公式的关系。【知识掌握】【知识点精析】1.数列知识有着广泛的应用，而且学习数列对培养和提高观察、分析、归纳等能力都有重要的作用。2.数列基础知识（1）数列按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，…。例如1，4，7，10，13；1，，，，…，，…都是数列，数列的一般形式可以写为其中是数列的第n项，我们常常把上面的数列简记作。项数有限的数列叫做有穷数列，如上面例子中的第1个数列；项数无限的数列叫做无穷数列，如上面例子中的第2个数列，另外，我们依照数列各项数值大小的变化，可以分成递增数列，递减数列，摆动数列和常数数列。对数列要从函数的高度深刻理解，数列是定义域为正整数集或它的有限子集上的函数值列。（2）数列的通项公式如果一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。例如，数列…的通项公式可以为；数列2，5，10，17，…的通项公式可以为。一个数列的通项公式的表达式也不一定是唯一的，例如-1，1，-1，1，…的通项公式既可以表示为也可以表示成，还可以表示成（3）数列的递推公式如果已知数列的第1项（或前n项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。例如，数列满足条件：我们由此式可以写出数列的第2，3，4，…项，此式就叫的递推公式；再如，数列满足条件：，由用心爱心专心此我们可以写出，…，上面的式子就是数列的递推公式。数列的递推公式不像数列的通项公式那样简单明确地表达了数列中的每一项，而要利用递推关系一步步地才能得到所需要的各项。但不少情况下，可以通过一定的数学方法将数列的递推公式转化为数列的通项公式。（4）数列的前n项和数列中的之和叫做数列的前n项和，记作（或）。（5）数列前n项和与数列通项之间的关系：由其各自的意义可知这里要注意，当n≥2时所得出的式子，对于n=1时，可能适用，也可能不适用。因此由求的时候一定要先求出，然后再求n≥2时的，例如，数列的前n项和，求它的通项。我们令n=1，得即，又当n≥2时，，所以，即n≥2时，而此式中令n=1，所以，所求数列的通项公式为【解题方法指导】例1.数列的前n项和是n的二次函数形式，且它的前三项依次是-1，2，9，求该数列的通项公式。解题思路分析：本题应先求出前n项和的表达式，由前三项的值可以将二次函数的三项系数确定，然后再用与通项之间的关系求出。解：设依题意即解得用心爱心专心∴当n=1时当n≥2时而代入不符合。∴该数列通项公式为注意：由求的时候，一定要先确定，然后求出n≥2时的后，要检验一下n=1时，是否符合的式子，若不符合，则通项公式应以分段函数给出。例2.已知数列中，，，写出这个数列的前五项，并归纳出它的通项公式。解：由已知，∴。。。。∴数列的前五项分别是：可以归纳出数列通项公式为：下面进行证明：方法一、n≥2时，用心爱心专心将上式相加：方法二、用数学归纳法证明。当n=1时，，，∴n=1时，公式成立。假设当n=k（k≥1）时，。当n=k+1时，∴n=k+1时，公式也成立。综上述，数列的通项公式为评述：本问题中给出的是数列的一个递推公式，因此它可以由前面的项求后面的项，求出前几项是不难的，但归纳出数列的通项公式有时是很不容易的，本题是先观察归纳出通项公式，然后给出证明，其中用数学归纳法证明是常见方法，另外方法一给出的是累加的方法，借助于本数列的特点，累加后左边只有，右边又是一个可以裂项相加的数列，因此就使问题得以证明。例3.已知数列的前几项和为，若，（1）求数列的通项公式；（2）令，①当n为何正整数值时，；②若对一切正整数n，总有，求m的取值范围。解：（1） ①用心爱心专心∴n=1时，，当时，②①－②得。∴，即（）又，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，∴。（2）①由（1）知，∴若使即，解得。即当n为大于2的正整数时，...
