2015.8.30高三数学推中题（9）1在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若AO＝xAB＋(1－x)·AC，则实数x的取值范围是(A)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)解析：AO＝xAB＋(1－x)AC可化为CO＝xCB，因为点O在线段BC的延长上，所以x∈(－∞，0)，故选A.2.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线于K，其中AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为(A)A.B.C.D.解析：过点F作FG∥CD交AC于G，则G是AC的中点，且＝＝，所以AK＝AG＝×AC＝AC，则λ的值为，故选A.3.满足方程(3,1)x2＋(2，－1)x＋(－8，－6)＝0的实数x为(A)A．－2B．－3C．3D.解析：由(3x2＋2x－8，x2－x－6)＝0，则，解得x＝－2，故选A.4.如图所示，已知AB＝2BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则下列等式中成立的是(A)A．c＝b－aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝a－b解析：由AB＝2BC，得AO＋OB＝2(BO＋OC)，即2OC＝－OA＋3OB，即c＝b－a，故选A.5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，BD＝(－3，－5)，则AC＝(1,3).解析：因为AD＝AB＋BD＝(－1，－1)，所以AC＝AB＋AD＝(1,3)．6.设向量a＝(cosθ，1)，b＝(1,3cosθ)，且a∥b，则cos2θ＝－.解析：因为a∥b，所以cosθ·3cosθ－1＝0，即3cos2θ＝1，cos2θ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.7.在△ABC中，已知D是边AB上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝.解析：因为AD＝2DB，所以AD＝AB，又CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝.8.已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4以及点A(1,1)，M为圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．解析：设N(x，y)，M(x1，y1)．由题意可知，MA＝2AN，所以(1－x1,1－y1)＝2(x－1，y－1)，所以.又M在圆C上，所以(x1－3)2＋(y1－3)2＝4，将方程组代入上式，得x2＋y2＝1，故点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.9.已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求：(1)λ为何值时，点P在第三象限；(2)点P到原点的最短距离．解析：(1)设P(x，y)，则AP＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．又AP＝AB＋λAC＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即，所以，①因为点P在第三象限，所以，所以λ<－1，故当λ<－1时，点P在第三象限．(2)将①消去λ，得P点轨迹方程为直线7x－5y－15＝0，所以点P到原点的最短距离为d＝＝.10.已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量是(A)A．(，－)B．(，－)C．(－，)D．(－，)解析由已知AB＝(3，－4)，且|AB|＝5，所以与AB同方向的单位向量为＝(，－)，故选A.11.已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝1.1解析：因为a－2b＝(，3)，c＝(k，)，又因为a－2b与c共线，所以×－3k＝0⇒k＝1.12设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为.解析：DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，所以λ1＋λ2＝－＋＝.13.设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4＝μA1A2(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是(D)A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：由A1A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4＝μA1A2(μ∈R)知，四点A1，A2，A3，A4在同一条直线上．因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，又＋＝2，所以＋＝2，故选D.14.△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝(D)A.a－bB.a－bC.a－bD.a－b解析：由a·b＝0，知a⊥b，|AB|＝，用等面积法求得|CD|＝.所以|AD|＝＝，又|AB|＝，所以AD＝AB＝(a－b)，故选D.2
