高三数学必须认真看的导数概念VIP专享VIP免费

第1节导数概念主要内容：导数的定义、几何意义，可导性与连续性的关系．教学目的及要求：理解导数的定义，了解导数的几何意义，掌握函数可导性与连续性的关系．教学重点：导数的定义．教学难点：可导性与连续性的关系．教学方法及手段：以讲授为主，使用电子教案教学时间：100分钟时间分配：1.开始部分（10分钟）2.讲授课程（70分钟）3.课堂讨论（10分钟）4.内容小结（10分钟）教学过程：一、引例1．自由落体运动的瞬时速度问题如图，求0t时刻的瞬时速度，取一邻近于0t的时刻t，运动时间为t，则平均速度000()2sssgvttttt．当0tt时，取极限得瞬时速度000000()limlim2ttttssgttvgttt．2．切线问题割线的极限位置——切线如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即0,0.MNNMT00(,),(,).MxyNxy设的斜率为割线MN00tanyyxx00()(),fxfxxx0,CNMxx沿曲线，切线MT的斜率为.)()(limtan000xxxfxfkxx以上两例虽然涉及的研究领域不同，一个是物理上的瞬时速度问题，一个是几何上的切线斜率问题，但是都出现了同一形式的极限的计算，即用心爱心专心0tttxoxyCT)(xfyNM00)()(lim0xxxfxfxx．此极限是函数的增量与自变量的增量之比当自变量增量趋向于零时的极限，称之为函数的导数．二、导数的定义定义1设函数)(xfy在点0x的某个邻域内有定义，当自变量x在点0x处取得改变量x时，函数取得相应的改变量y，如果当时，xy的极限存在即xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称此极限值为函数在点0x处的导数值（或微商），可记作：)('0xf，0'xxy，0xxdxdy，0)(xxxfdxd注：1、常用的导数形式还有：hxfhxfxfh)()(lim)(0000；000)()(lim)(0xxxfxfxfxx（令xxx0）等2、实际问题中，常将导数称为变化率。它反映了函数y随自变量x的变化而变化的快慢程度；3、0)()(0xxxfxf，而)]'([0xf是常数)(0xf的导数．由定义求导数的步骤:（1）求增量00()()yfxxfx；（2）算比值00()()fxxfxyxx；（3）求极限0limxyyx．例1讨论函数()fxx在0x处的可导性解(0)(0)hfhfhh，00(0)(0)limlim1hhfhfhhh，用心爱心专心xyxyo00(0)(0)limlim1hhfhfhhh．即(0)(0)ff，所以函数()yfx在0x点不可导．三、函数求导举例1.常数的导数0)'(C（C为常数）证),(x，有0y，于是0lim)'(0xyCx．注意：常数函数的图形为水平直线，其上任一点的切线的斜率均为0．2.幂函数的导数1)'(xx（为非零实数）证令xy，其定义域为D．Dx，有0()'limxxxxyxxexxxxxxxxx]1[lim]1)1[(lim)1ln(00而当0u时，ueu~1．在上式中使用此等价无穷小量代换，得：xxxxyx)1ln(lim'0，当0u时，uu~)1ln(10lim'xxxxxyx1)'(xx3.对数函数的导数axxaln1)'(log（0,0aa）,特别地，当eaxx1)'(ln证令xyalog，),0(x，有：xxxxyaaxlog)(loglim'0axexxxxxxxxaxxaxaxln1log1)1(loglim1)(loglim004.三角函数的导数（1）xxcos)'(sin证令xysin，),(x，有：用心爱心专心xxxxyxsin)sin(lim'0xxxxxxxxxxxcos22sin)2cos(lim2sin22cos2lim00xxcos)'(sin（2）xxsin)'(cos证令xysin，),(x，有：0cos()cos'limxxxxyxxxxxxxxxxxxsin22sin)2sin(lim2sin22sin2lim00四、导数的几何意义设函数)(xfy在点0x的导数存在，为)('0xf，则导数值为函数)(xfy上一点（0x，)(0xf）处的切线的斜率．此时，切线方程为：))(('000xxxfyy。例2求2xy的切线方程，使此切线与1xy平行．解设切点为（0x，0y），则有200xy...