对数的运算性质1．对数的运算性质：如果a>0，a1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．证明：（性质1）设，，由对数的定义可得，，∴，∴，即证得．练习：证明性质2．说明：（1）语言表达：“积的对数=对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如；（3）注意定义域：是不成立的，是不成立的；（4）当心记忆错误：，试举反例，，试举反例。2．例题分析：例1．用，，表示下列各式：（1）；（2）．解：（1）；例2．求下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式==；（2）原式=用心爱心专心115号编辑（2）．（性质3）设，由对数的定义可得，∴，∴，即证得．例3．计算：（1）lg1421g；（2）；（3）．解：（1）解法一：；解法二：=；说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。（2）；（3）=．例4．已知，，求的值。分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。解：．说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。例5．已知，求．分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为对数形式。解：（法一）由对数定义可知：．（法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：，∴．（法三），∴，∴．说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。例6．（1）已知，用a表示；（2）已知，，用、表示．解：（1） ，∴，∴log34log36=．（2） ，∴，又 ，∴=．换底公式用心爱心专心115号编辑1．换底公式：(a>0,a1；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，从而得：，∴．说明：两个较为常用的推论：（1）；（2）（、且均不为1）．证明：（1）；（2）．2．例题分析：例1．计算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．例2．已知，，求（用a,b表示）．解： ，∴，∴，又 ，∴，∴．例3．设，求证：．证明： ，∴，∴．例4．若，，求．解： ，∴，又 ，∴，∴∴．例5．计算：．解：原式用心爱心专心115号编辑．例6．若，求．解：由题意可得：，∴，∴．对数函数例1．求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）．分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。解：（1）由>0得，∴函数的定义域是；（2）由得，∴函数的定义域是；（3）由9-得-3，∴函数的定义域是．说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。例2．求函数和函数的反函数。解：（1）∴；（2）∴．例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1），；（2），；（3），.解：（1）对数函数在上是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数，于是；（3）当时，对数函数在上是增函数，于是，当时，对数函数在上是减函数，用心爱心专心115号编辑于是．例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），；（2），；（3），，；（4），，．解：（1） ，，∴；（2） ，，∴．（3） ，，，∴．（4） ，∴．例6．已知，比较，的大小。解： ，∴，当，时，得，∴，∴．当，时，得，∴，∴．当，时，得，，∴，，∴．综上所述，，的大小关系为或或．例7．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（且）．解：（1）令，则， ，∴，即函数值域为．（2）令，则，∴，即函数值域为．（3）令，当时，，即值域为，当时，，即值域为．例8．判断函数的奇偶性。解： 恒成立，故的定义域为，用心爱心专心115号编辑，所以，为奇函数。例9．求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又 ，∴或，故在上递增，在上递减，又 为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围。解：令， 函数为减函数，∴在区间上递减，且满足，∴，解得，所以，的取值范围为．对数函数1如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线的值依次为()．（A）...
