高三数学圆锥内切球的几个结论VIP免费

ABCOED关于圆锥内切球的几个结论本文将介绍关于圆锥内切球的几个结论：一圆锥内有一个半径为R的内切球，如图是它的轴截面图形。已知圆锥的母线与底面的夹角为2结论一：圆锥的母线长与底面半径之和等于22tan(1tan)R证明：设圆锥底面半径为r,母线ABACl，全面积为S，O为内切于圆锥的球心，延长AO交BC于D，则ADBCD,E为切点，则OEAC,,,ODOERDCrDCO且,tanRr在四边形ODCE中,2ODCOEC则O,D,C,E四点共园，所以2AOEDCE,tan2,tan2RtAOEAERlrR在中，即222tan22tan221tantantan(1tan)RRRlrAEECDCRr结论二：圆锥全面积等于2222tan(1tan)RS，体积V322213tan(1tan)R证明：22222()tan(1tan)RSrrlrlr，()()hlrlr=221tanR故23222221122133tan1tan3tan(1tan)RRRVrh结论三：当2tan2时，圆锥的全面积，体积最小，23minmin88,3SRVR证明：22222()tan(1tan)RSrrlrlr，欲使S最小，只要分母最小，又23222221122133tan1tan3tan(1tan)RRRVrh2224tan(1tan)tantan2211(tan)24212tantan22S当，即时，最小，V最小，23minmin88,3SRVR结论四：圆锥的全面积与球表面积之比等于圆锥体积与球体积之比，即：2212tan(1tan)SVSV球表面积球证明：2222223222232221tan(1tan)42tan(1tan)2113tan(1tan)42tan(1tan)312tan(1tan)RSSRRVVRSVSV球表面积球球表面积球例1：轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm,求球的体积？解：根据已知知6，tanRr=1，根据V=343R所以V=4327cm例2：球与它的外切等边圆锥的体积之比解：根据已知知6，据结论2212tan(1tan)VV球得：222tan(1tan)VV球49例3：半径为1的球内切于一个圆锥，求这个圆锥体积的最小值？解：由结论知，当2tan2时，圆锥的体积最小，最小为3min83VR=83例4：圆锥外切于半径为R的球，求圆锥体积最小时的高？解：由结论知当2tan2时，圆锥体积最小，高221tanRh=4R