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高三数学函数的最值及其在实际中的应用知识精讲VIP免费

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高三数学函数的最值及其在实际中的应用【本讲主要内容】函数的最值及其在实际中的应用函数的最值及其求法,实际问题中的最值【知识掌握】【知识点精析】1.函数的最值:设的定义域是D,值域为V。若对于,,使得且。使得,则称M是的最大值。若对于,,使得且,使得,则称N是的最小值。2.一些初等函数的最值,,,且,且,,,……除去二次函数及正余弦函数存在最值,其它均无最值。3.最值定理:在闭区间上的连续函数在上必有最大值与最小值。注意:极值与最值的概念是不同的,前者是函数的区间性质,后者是函数的整体性质,一个函数有极值不一定有最值,反之亦然。4.常用的解题方法(1)直接利用不等式逐步推证(借助函数有界)例如: 且当时取得1∴,(2)使用均值不等式求最值例如:设,求函数的最小值。解: ∴令或(舍)∴当时,(3)利用函数的单调性例如:求,的最值。解: 是函数的单增区间∴,即,(4)利用函数的图象例如:求,的最值。解:如图所示,函数图象是双曲线、对称中心在上,函数为增函数,即在上,函数为增函数,即∴,(5)利用换元法将之化为关于新变元的初等函数例如:求函数的值域。解:可证,则函数……(6)利用导数对于高次函数一般要用导数来求最值。例如:求在上的最值。解:,令或1+0-0+11∴,(7)将函数作成方程视为常数,寻找使方程有解的条件,如“△”判别式法【解题方法指导】[例1]求函数的最值。方法一,当时,当时,令则①或②由①,由②,综合上述可得,,即且当时取到,且当时取到方法二,(1)当时(2)当时, ∴∴,即以下略方法三,由令,则有下表1(1,)+0-0+极大极小而,∴,[例2]某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元。(1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最小?(2)若提供面粉的公司规定,当一次购买面粉不少于210吨时其价格可享受9折优惠(即原价的90%)问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由。解:(1)设该厂每隔天购一次面粉,购买量为吨,保管等其它费用为,设平均每天所支付的总费用为元,则且当时取得∴每隔10天购买一次面粉,才能使每天所支付的总费用最少。(2)若厂家利用此优惠条件,则至少每隔天购买一次面粉。设该厂利用此优惠条件后,每隔天天购买一次,平均每天支付总费用为元,则 ,函数在∴∴该厂应该接受此优惠条件【考点突破】【考点指要】函数的最值作为函数的重要性质,历来是高考重点考查的内容,又它的综合性,与其它知识诸如不等式、方程、三角函数等多元联系,更是作为考查学生综合运用知识的能力的载体,分值不小,可出现在任何一种题型中,以二次函数,分式函数,指、对数函数为模型的应用问题也是近几年在选择、填空中多出现的问题。【综合测试】一.选择题1.设,,是常数,则当时,函数的最小值是()A.B.C.D.2.当点在直线上移动时,表达式的最小值是()A.B.C.6D.73.(03北京)函数的最大值是()A.B.C.D.4.(04江苏)函数在闭区间上的最大值与最小值分别是()A.B.C.D.5.(05重庆)若动点在曲线上变化,则的最大值是()A.B.C.D.6.函数的最小值是()A.190B.171C.90D.45二.填空题7.(04北京)在函数,若成且,则有最值,该值是。8.(06浙江)对,记,函数的最小值是。9.(04全国)函数的最大值是。10.(06上海)三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立,求的取值范围”提出各自的解题思路。甲论:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙论:“把不等式变形为左边含变量的函数,右边仅含常数,求函数的最值。”丙论:“把不等式两边变成关于的函数,作出函数图象”参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即的取值范围是。三.解答题11.(02上海)已知函数,(1)当时,求函数的最大值与最小值。(2)求实数的取值范围,使在上是单调函数。12.(03北京)有三个新兴城镇,分别位于A、B、C三点处且AB=AC=,,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处(建立坐标系如图)(1)若希望点P到三镇距离的平方...

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