高三数学函数的最值及其在实际中的应用知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学函数的最值及其在实际中的应用【本讲主要内容】函数的最值及其在实际中的应用函数的最值及其求法，实际问题中的最值【知识掌握】【知识点精析】1.函数的最值：设的定义域是D，值域为V。若对于，，使得且。使得，则称M是的最大值。若对于，，使得且，使得，则称N是的最小值。2.一些初等函数的最值，，，且，且，，，……除去二次函数及正余弦函数存在最值，其它均无最值。3.最值定理：在闭区间上的连续函数在上必有最大值与最小值。注意：极值与最值的概念是不同的，前者是函数的区间性质，后者是函数的整体性质，一个函数有极值不一定有最值，反之亦然。4.常用的解题方法（1）直接利用不等式逐步推证（借助函数有界）例如： 且当时取得1∴，（2）使用均值不等式求最值例如：设，求函数的最小值。解： ∴令或（舍）∴当时，（3）利用函数的单调性例如：求，的最值。解： 是函数的单增区间∴，即，（4）利用函数的图象例如：求，的最值。解：如图所示，函数图象是双曲线、对称中心在上，函数为增函数，即在上，函数为增函数，即∴，（5）利用换元法将之化为关于新变元的初等函数例如：求函数的值域。解：可证，则函数……（6）利用导数对于高次函数一般要用导数来求最值。例如：求在上的最值。解：，令或1+0－0+11∴，（7）将函数作成方程视为常数，寻找使方程有解的条件，如“△”判别式法【解题方法指导】[例1]求函数的最值。方法一，当时，当时，令则①或②由①，由②，综合上述可得，，即且当时取到，且当时取到方法二，（1）当时（2）当时， ∴∴，即以下略方法三，由令，则有下表1（1，）+0－0+极大极小而，∴，[例2]某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元。（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最小？（2）若提供面粉的公司规定，当一次购买面粉不少于210吨时其价格可享受9折优惠（即原价的90%）问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。解：（1）设该厂每隔天购一次面粉，购买量为吨，保管等其它费用为，设平均每天所支付的总费用为元，则且当时取得∴每隔10天购买一次面粉，才能使每天所支付的总费用最少。（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔天购买一次面粉。设该厂利用此优惠条件后，每隔天天购买一次，平均每天支付总费用为元，则 ，函数在∴∴该厂应该接受此优惠条件【考点突破】【考点指要】函数的最值作为函数的重要性质，历来是高考重点考查的内容，又它的综合性，与其它知识诸如不等式、方程、三角函数等多元联系，更是作为考查学生综合运用知识的能力的载体，分值不小，可出现在任何一种题型中，以二次函数，分式函数，指、对数函数为模型的应用问题也是近几年在选择、填空中多出现的问题。【综合测试】一.选择题1.设，，是常数，则当时，函数的最小值是（）A.B.C.D.2.当点在直线上移动时，表达式的最小值是（）A.B.C.6D.73.（03北京）函数的最大值是（）A.B.C.D.4.（04江苏）函数在闭区间上的最大值与最小值分别是（）A.B.C.D.5.（05重庆）若动点在曲线上变化，则的最大值是（）A.B.C.D.6.函数的最小值是（）A.190B.171C.90D.45二.填空题7.（04北京）在函数，若成且，则有最值，该值是。8.（06浙江）对，记，函数的最小值是。9.（04全国）函数的最大值是。10.（06上海）三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求的取值范围”提出各自的解题思路。甲论：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙论：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值。”丙论：“把不等式两边变成关于的函数，作出函数图象”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是。三.解答题11.（02上海）已知函数，（1）当时，求函数的最大值与最小值。（2）求实数的取值范围，使在上是单调函数。12.（03北京）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处且AB=AC=，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）（1）若希望点P到三镇距离的平方...