高三数学二项式定理通用版知识精讲【本讲主要内容】二项式定理二项式定理和二项展开式性质及其应用【知识掌握】【知识点精析】1.二项式定理：对任意的正整数n，有这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，各项系数……（r＝0，1，2，……，n）叫做二项式系数。特例：在二项展开式中令a＝1，b＝x，则有公式：2.通项公式：二项展开式中的第r+1项叫做通项，记做。注意：（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n和r确定，该项也随之确定。（2）通项公式表示的是第r+1项，而不是第r项。（3）公式中a，b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n。3.二项式系数的性质：（1）二项式系数的对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；（2）二项式系数的大小规律如果二项式幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式幂指数是奇数，中间两项和的二项式系数相等并且最大。（3）二项式系数的和：当n为偶数时当n为奇数时（4）二项式系数与项的系数的区别：如的展开式中，第r+1项的二项式系数为，第r+1项的系数为。（5）求展开式的各项系数之和对形如的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可。（6）最大系数及系数最大项的求法如求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为，设第r+1项系数最大，应有，从而解出r来，即得。【解题方法指导】例1.求（4+2x+x2）（2-x）7的展开式中x5的系数。解：（4+2x+x2）（2-x）7＝（8-x3）（x-2）6＝（8-x3）[（x6-2C61x5+（-2）2C62x4+（-2）3C63x3+（-2）4C64x2+…]∴含x5的项为-2×8×C61·x5-（-2）4C64x5＝-336x5∴x5的系数为-336例2.已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列。（1）求展开式里所有的x的有理项；（2）求展开式里系数最大的项。解：（1） 由题设可知解得n＝8或n＝1（舍去）当n＝8时，通项据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8∴r＝0，4，8，故x的有理项为，，（2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1 由≥1得r≤3又 由≤1得：r≥2∴r＝2或r＝3。所求项为和例3.设求：（1）（2）解：设，则，（1），（2）【考点突破】【考点指要】二项式定理的应用主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理进行近似计算，题型以选择、填空为主，少有综合性的大题，本节是高考的必考内容。2006年有14个省市考查二项式定理，分值占4~5分，预计2007年出现的机率很大，但试题的难度仍属于容易题。【典型例题分析】例1.（2006北京卷理10）．在的展开式中，的系数是__________．（用数字作答）解：的展开式的通项为令得∴的系数为.例2.（2006湖南卷理11）若的展开式中的系数是，则实数的值是．解：的展开式的通项为由的系数是，可得解得例3.（2005湖北卷理14）的展开式中整理后的常数项为.解： ∴先求的展开式中含的项，即：∴的展开式中整理后的常数项为.例4.（2005江苏卷9题）设，则的展开式中的系数不可能是（）A.10B.40C.50D.80解： 它的通项为∴当时，的系数分别为：∴的展开式中的系数不可能是50故选C例5.（2006江西卷理8）在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于（）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.解：显然，当为奇数时，为奇数.当时，∴【综合测试】一.选择题：1.展开式中，x4的系数为（）A.-40B.10C.40D.452.（2006浙江卷理8）若多项式，则（）Ａ.9Ｂ.10Ｃ.Ｄ.3.（2005重庆卷文8）若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（）A.5B.7C.9D.114.（2005山东卷理5）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A.7B.C.21D.二.填空题1.展开式中的常数项是____________.2.在的展开式中的系数是___________3.展开式的中间项是__________。4.（2005广州卷13题）已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则＝.三.解答题1.（1）有1元、2元、5元、50元、100元的人民币各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？（2）七个电阻串联在一起连成一串。中间只要有一个坏了，这串电阻就...
