专题17空间向量及应用★★★高考在考什么【考题回放】1．在正方体A1B1C1D1-ABCD中，M、N分别是棱A1A和B1B的中点，若θ为直线CM与D1N所成的角，则sinθ等于（）A．91B．32C．752D．9542．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距SACBD离是（C）A．aB．aC．D．a3．如图，正四面体S-ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（C）A．B．C．D．4．在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（C）A．23B．2C．25D．265．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，则二面角B-B1C-A的正弦值36。6．在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，用心爱心专心SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点。（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角N—CM—B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离．【专家解答】（1）取AC中点O，连结OS、OB． SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO． 平面SAC⊥平面ABC，∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO．如图建立空间直角坐标系O－xyz．则A（2，0，0），B（0，23，0），C（－2，0，0），S（0，0，22），M(1，3，0)，N(0，3，2)．∴AC=（－4，0，0），SB=（0，23，－22）， AC·SB=（－4，0，0）·（0，23，－22）=0，∴AC⊥SB．（2）由（1）得CM=（3，3，0），MN=（－1，0，2）．设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，∴n=(2，－6，1)，又OS=(0，0，22)为平面ABC的一个法向量，∴cos(n，OS)=|||OSnOSn=31．∴二面角N－CM－B的大小为arccos31．（3）由(1)(2)得MB=(－1,3,0)，n=(2,－6,1)为平面CMN的一个法向量用心爱心专心∴点B到平面CMN的距离d=||||nMBn=324．★★★高考要考什么【考点透视】用空间向量可以解决的立体几何问题有：1．利用两个向量共线和共面定理,可证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题2．利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线,线面,面面垂直问题3．利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题4．利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题【热点透析】空间向量解立体几何问题的基本步骤是：1．建立适当的坐标系；2．确定相关点的坐标；3．求平面的法向量；4．利用公式求答案。★★★突破重难点EC1B1A1ABCDxzy【范例1】如图,在直三棱柱111ABCABC中，13,4,5,4ACBCABAA,点D为AB的中点(Ⅰ)求证1ACBC;(Ⅱ)求证：//1AC平面1CDB;(Ⅲ)求异面直线1AC与1BC所成角的余弦值奎屯王新敞新疆解： 直三棱锥111ABCABC底面三边长用心爱心专心3,4,5ACBCAB，1,,ACBCCC两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(32,2,0)(Ⅰ)11(3,0,0),(0,4,4)ACBC�,11110,ACBCACBC�奎屯王新敞新疆(Ⅱ)设1CB与1CB的交点为E，则E(0,2,2)，13(,0,2),(3,0,4),2DEAC�111,//2DEACDEAC�111,,DECDBACCDB平面平面11//ACCDB平面奎屯王新敞新疆(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),ACCB�11111122cos,,5||||ACCBACCBACCB���∴异面直线1AC与1BC所成角的余弦值为225奎屯王新敞新疆【点晴】在具有三维直角的立体几何题中常使用空间向量方法，证明线面垂直即证明直线的方向向量与平面的法向量平行，另外注意异面直线所成角为锐角。DOABCP【文】如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝12PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证OD∥平面PAB(Ⅱ)求直线OD与平面PBC所成角的大小；解析（1）OPABCOAOCABBC平面，，，.OAOBOAOPOBOP，，OOPz以为原点，射线为非负轴，建立空间直用心爱心专心Oxyz角坐标系如图，DOBCAPxyz222,0,0,0,,0,,0,0222ABaAaBaCa设，则0,0,.OPhPh设，则DPC为的中点，Ⅰ212,0,,,0,422ODahPAah�又，1...2ODPAODPAODPAB�平面∥∥2,PAaⅡ7,2ha214,0,,44ODaa�11,1,,7PBCn可求得平...
