江苏省南京市湖滨中学2015届高三上学期10月学情检测数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={1}，B={1，9}，则A∪B=．2．（5分）已知复数z的实部为﹣1，模为2，则复数z的虚部是．3．（5分）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是．4．（5分）若tanα=2，则sin2α=．5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．（5分）如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为．7．（5分）已知向量=（﹣3，2），=（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为．8．（5分）已知点A（0，1），B（4，a），若直线AB在x轴与y轴上的截距相等，则实数a=．9．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣9n+15，第k项满足5＜ak＜8，则k=．110．（5分）已知实数x、y满足，则z=2x﹣y的取值范围是．11．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）=x﹣对于任意x∈，都有f（x）≤0成立，则实数a的范围．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．17．（14分）如图，某小区进行绿化改造．计划围出一块三角形绿地ABC．其中一边利用现成的围墙BC．长度为1（百米）．另外两边AB，AC使用某种新型材料．∠BAC=120°设AB=x（百米），AC=y（百米）（1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围）2（2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．（1）若点，求△ABC的面积；（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．19．（16分）已知数列{an}中，a1=1且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若函数f（n）=+++…+（n∈N，且n≥2）求函数f（n）的最小值；（3）设bn=，Sn表示数列{bn}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn﹣1=（Sn﹣1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x+xlnx．（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；（2）若k∈z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；（3）当n＞m≥4时，证明（mnn）m＞（nmm）n．江苏省南京市湖滨中学2015届高三上学期10月学情检测数学试卷参考答案与试题解析3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={1}，B={1，9}，则A∪B={1，9}．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据集合A和B，找出既属于集合A，又属于集合B的元素，即可确定出两集合的并集．解答：解： A={1}，B={1，9}，∴A∪B={1，9}．故答案为：{1，9}点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的意义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z的实部为﹣1，模为2，则复数z的虚部是．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：设复数的虚部为b，根据复数模的公式列...
