三角函数综合测试（时间：120分钟总分150分）一、选择题（共10道，每道5分）1．已知角的终边过点P(－4,3)，则（）A．－1B．C．D．22．已知点P(tan,cos)）在第二象限，则角的终边在第（）象限。A．一B．二C．三D．四3．“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数的单调增区间为（）A．B．C．D．5．已知函数的图象经过点(0,1)，则该函数的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．已知，，则等于（）A．B．7C．D．－7用心爱心专心7．在△ABC中，，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形8．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）A．B．C．D．9．已知函数，则的值域是（）A．[－1，1]B．C．D．10．若不等式对于区间内的任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分）11．已知扇形AOB的周长是12cm，该扇形中心角是2弧度，则该扇形面积为____________。12．函数的定义域为___________。13．已知，，，则________。14．对于函数，给出下列四个命题：用心爱心专心①存在，使；②存在，使恒成立；③存在，使函数的图象关于y轴对称；④函数的图象关于点对称；其中正确命题的序号是____________。三、解答题（共6题，共80分）15．（本小题满分12分）已知在△ABC中，∠B=30°，b=6，，求a及△ABC的面积S。16．（本小题满分12分）在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2－a2=bc。（1）求角A的大小；（2）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小。17．（本题满分14分）函数的图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标是（1）求的表达式；（2）求在[0，π]上的最大值和最小值；（3）求在处的切线方程。18．（14分）已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）当y取到最大值时，求自变量x的取值的集合；（3）说明该函数的图象可以由函数经过怎样的平移和伸缩变换得到。用心爱心专心19．（14分）已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos,sin)，O为坐标原点，（1）若，求的值；（2）若，且，求，的夹角。20．（本小题满分14分）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架。三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米。为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？参考答案一、选择题1．C2．D3．B4．C5．C6．A7．B8．D9．C10．D二、填空题11．9cm212．13．14．①③④三、解答题15．解析：法一：由余弦定理：b2=a2+c2－2accosB即：36=a2+108－18a∴a2－18a+72=0解得：a=6或a=12当a=6时，当a=12时，法二：由正弦定理得用心爱心专心∵c＞b∴∠C＞∠B∴30°＜C＜180°∴C=60°或C=120°①当C=60°时，A=90°，②当C=120°时，A=B=30°，∴a=b=6，。16．解析：（1）∵b2+c2－a2=bc，∴∵0＜A＜180°∴A=60°（2）由正弦定理：，∴，，∵sin2A+sin2B=sin2C，∴即a2+b2=c2，∴∠C=90°∴B=180°－(A+C)=30°17．解析：（1）由题意知：，，∴又∵的图象过点，∴即：∴，用心爱心专心∴，∵，∴，∴（2）∵0≤x≤π，∴∴，即时，即时（3）∵，∴，又∵∴在处的切线方程即。18．解析：（1）∴函数的最小正周期：用心爱心专心（2）当即时∴时，。（3）19．解析：（1）∵，∴即，∴两边都平方，得∴（2）∵，∴∴即：∵，∴用心爱心专心又∵，∴，，∴∵，∴。20．解析：法一：余弦定理设AC=x米，BC=y米，则AB=(x－0.5)米，y＞1由余弦定理：AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cosC即(x－0.5)2=x2+y2－2xycos60°整理得：(y－1)x=y2－0.25∵y＞1∴（当且仅当即时，取“＝”）∴当时，。答：当AC最短为时，BC长度为。法二：设AC=x米，则AB=(x－0.5)米，x＞0.5由正弦定理得：，用心爱心专心即∴∵x＞0.5∴2x－1＞0∴又∵0＜B≤120°，∴0＜sinB≤1∴，∵2x－1＞0，∴解得：∴当时，sinB=1，∴B=90°，A=30°∴。答：当AC最短为时，BC长度为。用心爱心专心
