三角函数图象的对称问题陈根土三角函数图象的对称性是三角函数的一个基本特征，其对称轴方程和对称中心坐标同三角函数其他性质一样，呈现出一定的规律性。通过观察正弦函数、余弦函数和正切函数的图象可得如下结论。的图象是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴方程为（），它们分别过图象的最高点和最低点，同时又是中心对称图形，有无数个对称中心，其对称中心坐标为（，0）（），它们是图象与x轴的交点。对于的图象，只要将的图象向左平移个单位，就可相应地得到对称轴方程和对称中心坐标（）。对于，它的图象是中心对称图形，有无数个对称中心，其对称中心坐标为（）。一般地，函数（，）既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴方程为（），且它们分别过图象的最高点和最低点（简称峰点和谷点），对称中心坐标为（），它们是图象与x轴的交点。函数（，）既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴方程为（），且它们分别过图象的最值点，对称中心坐标为（），它们是图象与x轴的交点。例1函数的图象的一条对称轴方程是（）A.B.C.D.用心爱心专心115号编辑解析：（验证法）把代入得，取得最值，应选A。（直接法）由，得，当时，得，应选A。例2函数的图象关于原点成中心对称图形，则等于（）A.B.，C.，D.，解析：由题意知，，此时，应选B。例3函数的图象，向右平移（）个单位，得到的图象恰好关于对称，则的最小正值为A.B.C.D.解析：的图象向右平移个单位得的图象，且关于对称，则，，取，得，应选A。例4函数的图象关于对称，求a的值。解法1：（由所确定）∴当时，，得，，又，所以。解法2：由的图象关于直线对称，所以，即，得。例5函数（，）是R上的偶函数，其图象关于点M（用心爱心专心115号编辑，0）对称，且在上是单调函数，求和的值。解析：由是偶函数，得，即，所以。因，所以，由，得。由于的图象关于点M（，0）对称，所以，当时，，即。∴，得。①∵在上是单调函数，∴，得。②由①②知或。例6把函数的图象向左平移m（）个单位，所得的函数的图象关于直线对称。（1）求m的最小值；（2）证明当时，经过函数图象上任意两点的直线斜率恒为负值。解析：（1）由已知得，向左平移m个单位后得函数，由图象关于直线对称，知时必取得最大值或最小值。∴或，即或，整理得·，即，得，用心爱心专心115号编辑这时。（2）为了证明函数的图象上任意两点的直线斜率恒为负值，只要寻找它的递减区间（）包含区间。当时，递减区间为，而为的真子集，即。从而证明了图象上任意两点的直线斜率恒为负值。用心爱心专心115号编辑
