一道不等式的证明思路种种李新春李新卫题目已知a、b均为正数，且a+b=1，求证：（a+）2+（b+）2≥。思路：对a、b对称的运用平均值不等式证明因为0＜ab≤。所以≥4，≥(4-1)2-。思路2：依题设结构联想，作三角代换由题设，可设，则因为≤，≥2，≥2，所以≥1-2×。思路3：由求证式中的倒数关系，作齐次化变换由a+b=1，得a=，则a2=≥，≥，得a2+b2≥。又由≥2+2×2+2=8，得≥。思路4：对求证式中的对称平方式，对偶配凑降次取，恰有，由此应用平均值不等式降次：因为≥≥，所以≥=5·≥5×(3+2)=25，所以≥。思路5：对求证式作结构联想，换元试凑对，我们联想到圆的方程x2+y2=r2。又联想到圆的方程的参数式，为此，用心爱心专心115号编辑设，且，由a、b∈R+，有。所以，即1+。由0＜ab≤≤≤1，得r≥≥。故≥。思路6：对整个命题作结构联想，构造距离模型求证式就是≥，可以看作是点A（a,b）与点B（）之间的距离d，而已知式表明点A（a,b）在直线l:x+y=1上（如图1），由0＜ab≤，得点到直线l的距离≥，所以d≥d0≥。故≥。用心爱心专心115号编辑
