高三数学一轮复习必备 第79课时 第九章 直线、平面、简单几何体-平面所成的角VIP免费

DECBA第79课时：第九章直线、平面、简单几何体——平面所成的角课题：平面所成的角一．复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法．二．知识要点：1．二面角的概念：．2．二面角的平面角：．3．求二面角平面角大小的一般方法：．三．课前预习：1．二面角l内有一点P，若P到平面,的距离分别是5,8，且P在平面,的内的射影的距离为7，则二面角l的度数是（C）()A30()B60()C120()D1502．已知,EF分别是正方体1111ABCDABCD的棱1,BCCC的中点，则截面1AEFD与底面ABCD所成二面角的正弦值是（C）()A32()B32()C35()D3223．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题：，这个命题的真假性是．4．在四面体ABCD中，,,ABBCBD两两垂直，且2ABBC，E是AC中点，异面直线,ADBE所成的角为10arccos10，则二面角DACB的大小为．四．例题分析：例1．如图，点P为斜三棱柱111CBAABC的侧棱1BB上一点，1BBPM交1AA于点M，1BBPN交1CC于点N，（1）求证：MNCC1；用心爱心专心1AA1B1BC1CMNPABECDFA1B1D1C1ABDCPABDCPMNEO（2）在任意DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．例2．如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，90ABCBCD，2ABBCPBPCCD，侧面PBC底面ABCD．（1）PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角PBDC的大小；（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．解：（1）PA与BD相互垂直.证明如下：取BC的中点O，连结AO，交BD于点E；连结PO． PBPC，∴POBC．又 平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCDBC，∴PO⊥平面ABCD．在梯形ABCD中，可得RtABORtBCD，∴90BEOOABDBADBCDBA，即AOBD，∴PABD．（2）连结PE，由PO⊥平面ABCD，AOBD，可得PEBD，∴PEO为二面角PBDC的平面角，设22ABBCPBPCCDa，则在RtPEO中，53,,5POaOEa用心爱心专心2.15tanEOPOPEO∴二面角PBDC为arctan15．（3）取PB的中点N，连结CN，由题意知：平面PBC⊥平面PAB，则同“（1）”可得CN平面PAB．取PA的中点M，连结,DMMN，则由////MNABCD，12MNABCD，得四边形MNCD为平行四边形.∴//CNDM，∴DM⊥平面PAB．∴平面PAD⊥平面PAB．解答二：取BC的中点O，由侧面PBC⊥底面ABCD，PBC是等边三角形，得PO⊥底面ABCD．以O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设1CD，则在直角梯形中，2ABBC，在等边三角形PBC中，3PO．∴(1,2,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)ABDP).3,2,1(),0,1,2(PABD（1）PA与BD相互垂直.证明如下： ,0)3(0)2()1(1)2(PABD∴,PABDPABD�．（2）连结AO，设AO与BD相交于点E；连结PE．由,000)1()2()2(1BDOA得,OABDAOBD�即．又 AO为PA在平面ABCD内的射影，∴PEBD，PEO为二面角PBDC的平面角．在RtBEO中，5sin5OEOBOBE．在RtPEO中，tan15POPEOOE．∴二面角PBDC为arctan15．（3）取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为13(,1,)22．用心爱心专心3又33(,0,)22DM�，(1,0,3)PB�，∴3310(2)(3)022DMPA�33100(3)022DMPB�．∴,,,DMPADMPBDMPADMPB�即∴DM⊥平面PAB．∴平面PAD⊥平面PAB．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．五．课后作业：1．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PAAB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是（）()A30()B45()C60()D902．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（）()A18060()B60()C90()D90或603．已知正方形ABCD，BDAC,交于点O，若将正方形沿BD折成60的二面角，并给出四个结论：...