第107-110课时：第十四章复数——复数的代数形式及其运算课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。三．教学过程：（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律（1）i4n=1，i41n=i，i42n=1，i43n=i；（3）in·i1n·i2n·i3n=1，in＋i1n＋i2n＋i3n=0；；3．辐角的运算规律（1）Arg（z1·z2）＝Argz1＋Argz2（3）Argnz=nArgz（n∈N）…，n1。或z∈R。要条件是|z|＝|a|。用心爱心专心1（6）z1·z2≠0，则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z1||z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|的运用。即|z1±z2|≤|z1|+|z2|等号成立的条件是：z1，z2所对应的向量共线且同向。|z1±z2|≥|z1||z2|等号成立的条件是：z1，z2所对立的向量共线且异向。（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.（2004高考数学试题（浙江卷，6））已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且12zz是实数，则实数t=()A．43B．34C．34D．432.(2004年北京春季卷，2)当132m时，复数immz)1()23(在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是(C)A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。【分析】这是解答题，由于出现了复数z和z，宜统一形式，正面求解。解法一、设z＝x＋yi（x，y∈R），原方程即为223313xyyxii用复数相等的定义得：用心爱心专心2∴1z=1，2z=1+3i.两边取模，得：22113zz整理得4211100zz解得21z或210z代入①式得原方程的解是1z=1，2z=1+3i.【例2】（1993·全国·理）设复数z=cosθ＋isinθ（0＜【解】 z＝cosθ+isinθ4z=cos4θ＋isin4θcos(2)sin(2)22tan2cos2sin2iitan2cos(4)sin(4)22i即3tan23，又 0＜θ＜π，当3tan23时，12或712用心爱心专心3【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。【例3】设a，b，x，y∈R+，且222xyr（r＞0），求证：分析令1z=ax+byi，2z==bx+ayi（a，b，x，y∈R+），则问题化归为证明：|1z|+|2z|≥r（a+b）。证明设1z=ax+byi，2z=bx＋ayi（a，b，x，y∈R+），则=|（a+b）x+（a＋b）yi|=|（a＋b）（x+yi）|＝（a＋b）·r。例4图解如图所示，设点Q，P，A所对应的复数为：用心爱心专心4即（x03a+y0i）·（i）＝（x3a+yi）由复数相等的定义得而点（x0，y0）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。2．分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。【例5】（1990·全国·理）设a≥0，在复数集C中解方程z2＋2|z|=a。分析一般的思路是设z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ＋isinθ），若由z2＋2|z|=a转化为z2=a2|z|，则z2∈R。从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。总之，是一个需要讨论的问题。【解】解法一 z2=a2|z|∈R，∴z为实数或纯虚数。∴问题可分为两种情况：（1）若z∈R，则原方程即为|z|2+2|z|a=0，（2）若z为纯虚数，设z=yi（y∈R且y≠0），则原方程即为|y|22|y|＋a=0当a=0时，|y|=2即z=±2i。当0＜a≤1时，当a＞1时，方程...
