第七节正弦定理和余弦定理A组基础题组1.在△ABC中,若=,则B的值为()A.30°B.45°C.60°D.90°2.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且bc.已知·=2,cosB=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.B组提升题组12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cosA等于()A.B.-C.D.-13.如图,在△ABC中,∠C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos∠A=()A.B.C.D.14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cosA=,则b=.15.(2016吉林东北师大附中月考)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,且2acos2+2ccos2=b.(1)求证:2(a+c)=3b;(2)若cosB=,S=,求b.16.(2016福建厦门南安一中、海沧实验中学联考)如图,△ABC中,已知点D在BC边上,且·=0,sin∠BAC=,AB=3,BD=.(1)求AD的长;(2)求cosC.17.(2017安徽师大附中模拟)已知在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足cos2A-cos2B=2cos·cos.(1)求角B的值;(2)若b=且b≤a,求2a-c的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B由正弦定理知=,∴sinB=cosB,∴B=45°.2.C由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵bc,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB===,由正弦定理,得sinC=sinB=×=.因a=b>c,所以C为锐角.因此cosC===.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.B组提升题组12.D由S=bcsinA及S+a2=(b+c)2,得a2=b2+c2-2bc,由余弦定理可得sinA-1=cosA,结合sin2A+cos2A=1,可得cosA=-或cosA=-1(舍去).13.C因为DE⊥AB,DE=2,所以AD=,所以BD=AD=.因为AD=DB,所以∠A=∠ABD,所以∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.在△BCD中,由=,得=,整理得cos∠A=.14.答案解析因为cosA=,所以sinA===,所以sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=cos45°+sin45°=.由=,得b=×sin45°=.15.解析(1)证明:由条件得a(1+cosC)+c(1+cosA)=b,由于sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,即acosC+ccosA=b,所以a+c=b,即2(a+c)=3b.(2)在△ABC中,因为cosB=,所以sinB=.由S=acsinB=ac=,得ac=8,又b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB),2(a+c)=3b,所以=16×,所以b=4.16.解析(1)因为·=0,所以AD⊥AC,所以sin∠BAC=sin=cos∠BAD,所以cos∠BAD=.在△ABD中,由BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD,得AD2-8AD+15=0,解之得AD=5或AD=3,由于AB>AD,所以AD=3.(2)在△ABD中,由cos∠BAD=,可知sin∠BAD=,由正弦定理可知,=,所以sin∠ADB==,又因为sin∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=sin=cosC,所以cosC=.17.解析(1)∵2coscos=2=2=cos2A-sin2A=-2sin2A,cos2A-cos2B=1-2sin2A-(2cos2B-1)=2-2sin2A-2cos2B,∴2-2sin2A-2cos2B=-2sin2A,∴cos2B=,∴cosB=±,∴B=或.(2)∵b=≤a,∴B=,由====2,得a=2sinA,c=2sinC,故2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sin=3sinA-cosA=2sin,因为b≤a,所以≤A<π,所以≤A-<,所以2a-c=2sin∈[,2).
