第五节椭圆A组基础题组1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.B.(1,+∞)C.(1,2)D.2.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于()A.2B.4C.8D.3.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=15.已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为()A.B.C.D.6.直线x-2y+2=0过椭圆+=1的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的方程为.7.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.9.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.B组提升题组10.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.11.已知椭圆+=1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为-1,以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=112.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于.13.如图,椭圆的中心是坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为.14.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.答案全解全析A组基础题组1.C 方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴解得故k的取值范围为(1,2).2.B设椭圆的另一个焦点为F2.如图,连接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,∴|MF2|=10-|MF1|=8.由题意知|ON|=|MF2|=4.故选B.3.A如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|==|PF2|,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a=⇒,2c=|F1F2|=|PF2|c=⇒,则e==·=.4.D直线AB的斜率k==,设A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②得=-·.即k=-×,∴=.③又a2-b2=c2=9,④由③④得a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为+=1,故选D.5.B由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以·=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为,选B.6.答案+y2=1解析直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2.直线x-2y+2=0与y轴的交点为(0,1),即为椭圆的上顶点,故b=1.所以a2=b2+c2=5,所以椭圆的方程为+y2=1.7.答案3解析由题意知|F1F2|=2,因为|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,在△F1PF2中,由余弦定理得cos120°==-,化简得8a=24,即a=3.8.解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.9.解析(1)根据c=及题设知M,∴=,即2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的...
