第八章第八节双曲线课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)双曲线的定义及其标准方程1、28、10双曲线的几何性质34、5、7、9直线与双曲线的位置关系611、12一、选择题1．已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是()A.B.C.D．5解析：因为|AB|＝4，|PA|－|PB|＝3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2＋＝.答案：C2．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A.B.C.D．2解析：由已知可知c＝，a＝1，∴b＝1，∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．代入可求P的横坐标为x＝－.∴P到原点的距离为＝.答案：A3．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝()A．1B．2C．3D．4解析：双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)，一个顶点(0，)，一条渐近线3y－mx＝0，＝⇒m＝4.答案：D4．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且1PF�·2PF�＝0，则|1PF�＋2PF�|＝()A.B．2C.D．2解析：设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．点P在双曲线上，且1PF�·2PF�＝0，则|1PF�＋2PF�|＝2|PO�|＝|12FF�|＝2.答案：B5．F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()A．1＋B．2＋C．3－D．3＋解析：由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，故必有|F1F2|＝|PF2|，用心爱心专心即2c＝，从而得c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解之得e＝1±， e＞1，∴e＝1＋.答案：A6．斜率为2的直线l过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．e＜2B．1＜e＜C．1＜e＜D．e＞解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即＞2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝＞.答案：D二、填空题7．(2010·平顶山模拟)A、F分别是双曲线9x2－3y2＝1的左顶点和右焦点，P是双曲线右支上任一点，若∠PFA＝λ·∠PAF，则λ＝________.解析：特殊值法，取点P为(，1)，得∠PFA＝2∠PAF，故λ＝2.答案：28．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________．解析：令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解．即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x＝2或x＝4，符合条件的双曲线a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，∴双曲线方程为－＝1.答案：－＝19．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值是________．解析：＝2⇒＝4⇒a2＋b2＝4a2⇒3a2＝b2，则＝＝a＋≥2＝，当a＝即a＝时取最小值.答案：三、解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：1MF�·2MF�＝0；(3)求△F1MF2面积．解：(1) e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ. 过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，用心爱心专心∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－. 点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴1MF�·2MF�＝0.法二： 1MF�＝(－3－2，－m)，2MF�＝(2－3，－m)，∴1MF�·2MF�＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴1MF�·2MF�＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.11．(2010·西安模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是.(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM�·ON�＝－23，求直线m的方程．解：(1)依题意，l方程＋＝1，即bx－ay－ab＝0，由原点O到l的距离为，得＝＝，又e＝＝，∴b＝1，a＝.故所求双曲线方程为－y2＝1.(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y＝kx－1，则点M、N坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组的解，消去y，得(1－3k2)...
