高三数学 第二篇 第九节 变化率与导数、导数的计算课时精练 理 北师大版VIP免费

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题1.设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()A.k1＞k2B．k1＜k2C.k1＝k2D．不确定【解析】∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，k1＝cos0＝1，k2＝cos＝0，∴k1＞k2.【答案】A2.(2008年辽宁高考)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()【解析】设P(x0，y0)，∵y′＝2x＋2，∴曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.又切线倾斜角范围是，∴斜率范围是[0,1]，即0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－\f(1,2)．【答案】A3.(2008年福建高考)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()用心爱心专心1【解析】由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当x＜x0时，由图象知f′(x)＞g′(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度；当x＞x0时，f′(x)＜g′(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数形结合．【答案】D4.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()【解析】∵点(2，e2)在曲线上，∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)．即e2x－y－e2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，用心爱心专心2【答案】D,5.(2009年临沂模拟)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()【解析】过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P(x0，x02－lnx0)则有【答案】B二、填空题6.若函数y＝g(x)是函数y＝f(x)的导函数，则称函数y＝f(x)是函数y＝g(x)的原函数，例如y＝x3是y＝3x2的原函数，y＝x3＋1也是y＝3x2的原函数，现请写出函数y＝2x4的一个原函数______．【解析】由原函数的定义可知，【答案】用心爱心专心37.(2008年江苏高考)设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为______．【解析】【答案】ln2－18．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.【解析】易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.【答案】2三、解答题9.已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．【解析】(1)由f(x)＝x3－3x得，f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求直线方程为y＝－2；用心爱心专心4(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x02－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，即x03－3x0＋2＝3(x02－1)·(x0－1)，10.设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.【解析】因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因为t≠0，所以a＝－t2.g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f′(t)＝g′(t)．,而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.将a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t3.故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.用心爱心专心5