第39练数列的前n项和训练目标(1)求数列前n项和的常用方法；(2)数列通项求和的综合应用．训练题型(1)一般数列求和；(2)数列知识的综合应用．解题策略数列求和的常用方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)并项法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法；(6)错位相减法.一、选择题1．(2016·东营期中)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于()A．15B．12C．－12D．－152．(2016·山西晋中联考)已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于()A．13B．10C．9D．63．(2016·河南中原名校联考二)已知函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S20的值为()A.B.C.D.4．(2016·衡水期中)1＋(1＋)＋(1＋＋)＋…＋(1＋＋＋…＋)的值为()A．18＋B．20＋C．22＋D．18＋5．数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则＋＋…＋等于()A.B.C.D.二、填空题6．(2017·合肥质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝________.7．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________________．8．数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2012＝________.9．(2016·云南师大附中月考)设S＝＋＋＋…＋，则不大于S的最大整数[S]＝________.三、解答题10．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.答案精析1．A[依题意可知a1＋a2＝3，a3＋a4＝3，…，a9＋a10＝3，∴a1＋a2＋…＋a10＝5×3＝15.故选A.]2．D[∵数列{an}的通项公式是an＝＝1－，∴Sn＝(1－)＋(1－)＋(1－)＋…＋(1－)＝n－(＋＋＋…＋)＝n－＝n－1＋.由Sn＝＝n－1＋，可得n＝6.故选D.]3．A[因为f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，又函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，所以f′(0)＝a＝2，所以f(x)＝x2＋2x，所以＝＝＝(－)，所以S20＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1＋－－)＝.故选A.]4．B[设an＝1＋＋＋…＋＝＝2(1－)＝2－，∴Sn＝2n－＝2n－2(1－)＝2n－2＋，∴S11＝20＋，故选B.]5．B[因为an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，所以an＋1－an＝n＋1.用累加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝，所以＝＝2.所以＋＋…＋＝2(1－＋－＋－＋…＋－)＝2＝，故选B.]6．n·2n解析∵Sn＝2an－2n＝2(Sn－Sn－1)－2n，即Sn＝2Sn－1＋2n(n≥2)，∴＝＋1＝＋1，∴－＝1，且S1＝a1＝2，∴＝1，∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝n，∴Sn＝n·2n.7．[，1)解析由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝()2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝()3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝()n，所以Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n＝＝1－()n，因为n∈N*，所以≤Sn<1.8．3018解析由于f(n)＝cos的值具有周期性，所以可从数列的周期性及从头开始连续四项的和为定值入手解决．当n＝4k＋1(k∈N)时，an＝(4k＋1)cosπ＋1＝1，当n＝4k＋2(k∈N)时，an＝(4k＋2)cosπ＋1＝－(4k＋2)＋1＝－4k－1，当n＝4k＋3(k∈N)时，an＝(4k＋3)cosπ＋1＝1，当n＝4k＋4(k∈N)时，an＝(4k＋4)cosπ＋1＝(4k＋4)＋1＝4k＋5，∴a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝1－4k－1＋1＋4k＋5＝6.∴S2012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a2012＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a2009＋a2010＋a2011＋a2012)＝6×503＝3018.9．2014解析∵＝＝＝1＋(－)，∴S＝1＋(－)＋1＋(－)＋…＋1＋(－)＝2015－，故[S]＝2014.10．(1)解由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，由于{an}是正项数列，所以Sn＋1>0.所以Sn＝n2＋n(n∈N*)．n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1时，a1＝S1＝2适合上式．所以an＝2n(n∈N*)．(2)证明由an＝2n(n∈N*)，得bn＝＝＝，Tn＝[＋＋＋…＋＋]＝<＝(n∈N*)．即对于任意的n∈N*，都有Tn<.
