第38练数列的通项训练目标(1)求数列通项的常用方法；(2)等差、等比数列知识的深化应用．训练题型(1)由数列的递推公式求数列的通项；(2)由数列的前n项和求通项．解题策略求数列通项的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)构造法.一、选择题1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn2．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2nB．an＝C．an＝2n－1D．an＝2n＋13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，则数列{an}的通项公式an等于()A．(－2)n－1＋1B．2n－1＋1C．(－2)n－1D．(－2)n＋1－14．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是()A．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列B．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列C．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列D．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列5．(2016·宝鸡二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式an等于()A．(n＋1)3B．(2n＋1)2C．8n2D．(2n＋1)2－1二、填空题6．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2015＝________.7．定义：称为n个正数x1，x2，…，xn的“平均倒数”，若正项数列{cn}的前n项的“平均倒数”为，则数列{cn}的通项公式cn＝________.8．已知数列{an}满足：a1＝1，an＝n＝2,3,4，…，设bn＝a＋1，n＝1,2,3，…，则数列{bn}的通项公式是________．9．数列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋3n＋4(n∈N*，n≥2)，若存在实数λ，使得数列为等差数列，则λ＝________.三、解答题10．已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．n为偶数,n为奇数,答案精析1．A[因为an＋1＝an＋ln，所以an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－lnn.又a1＝2，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln2－ln1＋ln3－ln2＋ln4－ln3＋…＋lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln1＝2＋lnn．]2．B[由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝故选B.]3．A[an＋1＝－2an＋3，即为an＋1－1＝－2(an－1)，又a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an－1＝(－2)n－1，即an＝(－2)n－1＋1.故选A.]4．A[若cn∥bn，可得(n＋1)an＝nan＋1，＝.即···…··＝···…··.所以an＝na1，所以数列{an}是等差数列．易判断当cn⊥bn时，数列{an}既不是等差数列也不是等比数列，故选A.]5．A[当n＝1时，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4(Sn＋1)＝，得4(Sn－1＋1)＝，两式相减，得4an＝－，即＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3，经验证n＝1时也符合，所以an＝(n＋1)3.]6．－解析由an＋1＝，得a2＝＝－，a3＝＝＝，a4＝＝＝0，所以数列{an}的循环周期为3.故a2015＝a3×671＋2＝a2＝－.7．4n－1解析由已知可得，数列{cn}的前n项和Sn＝n(2n＋1)，所以数列{cn}为等差数列，首项c1＝S1＝3，c2＝S2－S1＝10－3＝7，故公差d＝c2－c1＝7－3＝4，得数列的通项公式为cn＝c1＋(n－1)×4＝4n－1.8．bn＝2n解析由题意得，对于任意的正整数n，bn＝a＋1，所以bn＋1＝a＋1，又a＋1＝2(a＋1)＝2bn，所以bn＋1＝2bn，又b1＝a1＋1＝2，所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝2n.9．2解析设bn＝，得an＝3nbn－λ，代入已知得3nbn－λ＝3(3n－1bn－1－λ)＋3n＋4，变形为3n(bn－bn－1－1)＝－2λ＋4，这个式子对大于1的所有正整数n都成立．由于{bn}是等差数列，bn－bn－1是常数，所以bn－bn－1－1＝0，即－2λ＋4＝0，可得λ＝2.10．解(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝或p＝0.当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①因为<，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝()2n－1＝.③因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－()2n＝.④由③④可知，an＋1－an＝.于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋·＝＋·.故数列{an}的通项公式为an＝＋·.
