高三数学直线中的最值问题及简单的线性规划知识精讲通用版【本讲主要内容】直线中的最值问题及简单的线性规划二元一次不等式（组）表示平面区域、线性规划的意义及应用。【知识掌握】【知识点精析】1.二元一次不等式表示的平面区域：（1）在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点。①若，则点在直线的上方；②若，则点在直线的下方。（2）对于任意的二元一次不等式，无论为正值还是负值，我们都可以把项的系数变形为正数。当B>0时，①Ax+By+C>0表示直线上方的区域；Ax+By+C<0②表示直线下方的区域。（3）判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：①点定域法：画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，点定域（原点不在边界上时，用原点定域最简单）；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。例如：画不等式x-2y+4>0表示的平面区域时，可先画直线（虚线），取原点代入原不等式成立，所以不等式x-2y+4>0表示的区域如图所示。②符号判断法：当B>0时，Ax+By+C>0表示直线上方的区域，Ax+By+C<0表示直线下方的区域；一般的若B<0时，可先把项系数变为正数再判断。第1页1例如：3x-2y+6>0表示直线下方区域；-3x+y+3<0表示直线下方区域。2.线性规划：（1）有关概念：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。直线的最值及生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题。（2）线性规划问题一般用图解法，其具体步骤如下：①根据题意，设出变量；②找出线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；⑤利用线性目标函数作平行直线系；⑥观察图形，找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。说明：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数。可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域。【解题方法指导】例1.画出不等式组表示的平面区域。解析：不等式表示直线右下方的点的集合；不等式表示直线上及其右上方的点的集合；不等式1<|x-2|≤3可化为-1≤x<1或30时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当B<0时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大。如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点，到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断。若围成的可行域的直线的斜率分别为k1
