高三数学向量的坐标运算及向量的数量积知识精讲通用版【本讲主要内容】一.本周教学内容：向量的坐标运算及向量的数量积【知识掌握】【知识点精析】1.向量的坐标运算：向量有三种不同的运算形式，其中代数形式（坐标运算）是一种重要的形式，有了这种形式，向量的运算就实现了程序化、“机械化”，更使得向量的应用范围大大扩展，几乎遍及初等数学的各个方面。①向量坐标的意义：根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对（λ1，λ2）一一对应，称（λ1，λ2）为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{，}时定义（λ1，λ2）为向量的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A（x，y），则=（x，y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2-x1，y2-y1）②向量加减法则：三角形法则或平行四边形法则：记=（x1，y1），=（x2，y2）则+=（x1+x2，y1+y2）=-=（x2-x1，y2-y1）③实数与向量乘积的几何意义——共线：记=（x，y）则λ=（λx，λy）λ∈R④其它公式：定比分点坐标公式：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2）则特例：当λ=1时，就得到中点公式：平面上两点间的距离公式：若，则第1页版权所有不得复制12.向量的数量积向量的数量积是向量单元中最重要的一个概念，有关数量积的知识点可简要概括为：一个定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ两个意义：几何意义（数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积）物理意义（可理解为物理上的功）三条算律：a·b=b·a；（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（a+b）·c=a·c+b·c。四点注意：首先向量的数量积是一个数量；其次两个向量夹角的确定最容易出错；第三数量积运算不满足结合律；第四向量的投影是一个实数，可正可负。五条性质：设e是单位向量，〈a，e〉=θ。（1）e·a=a·e=|a|cosθ。（2）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|。特别地，a·a=|a|2，或|a|=（此公式通常称为模方公式，非常有用）。（3）a⊥ba·b=0。（4）cosθ=。（5）|a·b|≤|a||b|。3.向量数量积的坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（1）a·b=x1x2+y1y2；特别地|a|=。（２）cos〈a，b〉=。（3）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0。评注：向量的数量积与实数积之间，有联系，更有区别，我们在复习中要对这两个概念及其性质进行对比，总结它们之间的区别和联系，防止出现实数知识对向量学习的负面影响。向量的数量积与实数的积的相同点：实数的乘积向量的数量积运算的结果是一个实数运算的结果是一个实数交换律分配律且向量的数量积与实数的积的不同点：实数的乘积向量的数量积结合律第2页版权所有不得复制2或【解题方法指导】例1.在△中，，，，已知，求证：△为正三角形。错解一： ，①∴。②∴③即 、、均为非零向量，∴故△是正三角形。错因剖析：我们知道向量的数量积是一个实数，若两个实数相等，则它们的绝对值也相等。因此，①②是成立的；②③乍看起来也没有问题，因为这是我们很熟悉的实数绝对值性质。但实数的性质在向量的运算中仍然成立吗？我们不妨先从特殊情形入手。令，（其中、分别是轴、轴上的单位向量），此时，而，所以显然有。由向量的数量积定义可知，cos，-1，因此，我们可以得到，当且仅当或，即与共线时等号成立。题目中由于、不是共线向量，因此②③是不成立的，这正是此题错解的症结所在。若，，由可得，这实际上也是柯西不等式的二维形式。第3页版权所有不得复制3错解二： ∴ ∴，同理可得。故△是正三角形。错因剖析：由于向量的数量积满足分配律，所以由可以得到，但由教材第119页向量的数量积性质知：“当都是非零向量时，”。所以由，不能得到。这个错误解法的信息源是实数的性质“若，则”。另外，若，则△的三条边平行或重合，也不能得到△是正三角形。错解三： ∴ ∴由正弦定理得，即。∴.同理.故△是正三角形。错因剖析：由于向量的夹角是，而不是，所以由向量数量积的定义可知，。这是...
