高三数学 名校尖子生培优系列 数学解题方法四 待定系数法在数列问题中的应用试题 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

四、待定系数法在数列问题中的应用典型例题：例1.已知na为等差数列，nS为其前n项和。若11a=2，23Sa，则2a=▲；nS=▲【答案】1；211nn44。【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为d，根据等差数列通项公式和已知11a=2，23Sa得22221a=1a=d211d=a=ad22。∴112naan1d11S=n=nn244。例2..已知递增的等差数列na满足11a，2324aa，则na▲。【答案】21n-。【考点】等差数列。【解析】设递增的等差数列na的公差为d（0d>），由2324aa得212(1)4dd+=+-，解得2d=±，舍去负值，2d=。∴21nan=-。例3.设公比为(0)qq的等比数列na的前n项和为nS．若2232Sa，4432Sa，则q▲．【答案】32。【考点】等比数列的性质，待定系数法。【解析】用待定系数法将2232Sa，4432Sa两个式子全部转化成用1a，q表示的式子：111233111113232aaqaqaaqaqaqaq，1两式作差得：2321113(1)aqaqaqq，即：2230qq，解之得：32q或1q(舍去)。例4.已知等比数列｛an｝为递增数列，且251021,2()5nnnaaaaa，则数列｛an｝的通项公式an=▲。【答案】2n。【考点】等比数列的通项公式。【解析】设等比数列｛an｝的公比为q。 2510aa，∴42911()aqaq。∴1aq，nnaq。又 212()5nnnaaa，∴22(1)5nnaqaq。∴22(1)5qq。解得2q或12q。又 等比数列｛an｝为递增数列，∴舍去12q。∴2nna。例5.已知{na}是等差数列，其前n项和为nS，{nb}是等比数列,且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb.(Ⅰ)求数列{na}与{nb}的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++nnnnTababab，+nN，证明+12=2+10nnnTab+()nN.【答案】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由1a=1=2b，得344423286adbqsd，，。由条件44+=27ab，44=10Sb得方程组332322786210dqdq，解得32dq。∴+312nnnanbnN，，。(Ⅱ)证明：由（1）得，231212222nnnnnTaaaa①；2∴234+112122222nnnnnTaaaa②；由②－①得，234112232112+222+22nnnnnnnnnnTaaaaaaaaaab23423412+232323+2322=2+4+3222+2412=2+4+3=2+412+62=2+4+61212=2+1012nnnnnnnnnnnnnnnnnabababababbab∴+12=2+10nnnTab+()nN。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（Ⅱ）写出nT的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例6.已知等差数列na前三项的和为-3，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列na的通项公式；（II）若231,,aaa成等比数列，求数列na的前n项的和。【答案】解：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，则21aad，312aad，由题意得1111333,()(2)8.adaadad解得12,3,ad或14,3.ad∴由等差数列通项公式可得23(1)35nann，或43(1)37nann。∴等差数列na的通项公式为35nan，或37nan。（Ⅱ）当35nan时，2a，3a，1a分别为1，4，2，不成等比数列；当37nan时，2a，3a，1a分别为1，2，4，成等比数列，满足条件。∴37,1,2,|||37|37,3.nnnannn记数列{||}na的前n项和为nS，当1n时，11||4Sa；当2n时，212||||5Saa；3当3n时，234||||||nnSSaaa5(337)(347)(37)n2(2)[2(37)]311510222nnnn。当2n时，满足此式。综上，24,1,31110,1.22nnSnnn【考点】等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。【解析】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，根据等差数列na前三项的和为-3，前三项的积为8列方程组求解即可。（II）对（Ⅰ）的结果验证符合231,,aaa成等比数列的数列，...