第1讲不等关系与不等式【2015年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号--------连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b.3．不等式的性质(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(4)可乘性：(5)可乘方：(6)可开方：一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两条常用性质(1)倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒＜；②a＜0＜b⇒＜；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：＜；＞(b－m＞0)；②假分数的性质：＞；＜(b－m＞0)．双基自测1．(人教A版教材习题改编)给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是()．A．①②B．②③1C．③④D．①④2．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是()．A．v＜40km/hB．v＞40km/hC．v≠40km/hD．v≤40km/h3．已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．A．ad＞bcB．ac＞bdC．a－c＞b－dD．a＋c＞b＋d5.与＋1的大小关系为________．考向一比较大小【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．[审题视点]采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．【训练1】已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是()．A.＞1B．a2＞b2C．lg(a－b)＞0D.a＜b考向二不等式的性质【例2】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；(2)＋＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是()．A．1B．2C．3D．4[审题视点]利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．【训练2】已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③＞.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是()．A．0B．1C．2D．32考向三不等式性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[审题视点]可利用待定系数法寻找目标式f(－2)与已知式f(－1)，f(1)之间的关系，即用f(－1)，f(1)整体表示f(－2)，再利用不等式的性质求f(－2)的范围．由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．【训练3】若α，β满足试求α＋3β的取值范围．难点突破15——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用．一、作差法【示例】►(2011·陕西)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D.＜a＜＜b3二、作商法【示例】►若...
