2.异面直线2.1异面直线的定义【例1】关于异面直线有以下说法：①分别在不同平面内的两条直线是异面直线；②空间没有交点的两条直线是异面直线；③既不平行也不相交的两条直线是异面直线；④a和c是异面直线，b和c也是异面直线，则a和b也是异面直线．其中正确的是．【解析】如图，在正方体1111ABCDABCD中，AB与11CD、AB与1CC、AB与1BB可以分别在两个不同的平面内，但它们的位置关系分别是平行、异面、相交，所以①错；AB与11CD没有交点，但是它们是平行关系，②错；③正确；AB与1CC、1CC与11AB均是异面直线，但AB与11AB是平行关系，所以④错．正确的是③．【评注】把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．这里要注意：（1）“不同在任何一个平面内”指这两条直线永远不可能在一个平面内；（2）异面直线图形表示有以下三种：baαbaαβbaα【变式】合理选择相应的几何模型考查两条直线是否异面.如图，在长方体1111ABCDABCD中，判断下列直线的位置关系：（1）直线1AB与直线1DC的位置关系是__________；（2）直线1AB与直线1BC的位置关系是__________；（3）直线AB与直线1BC的位置关系是___________．【解析】（1）在长方体1111ABCDABCD中，BC∥11AD且11BCAD，∴四边形11ABCD是平行四边形，∴1AB∥1DC；（2）直线1AB与直线1BC不同在任何一个平面内，所以异面；（3）直线AB与直线1BC不同在任何一个平面内，所以异面．1D1C1B1A1CDBAD1C1B1A1CDBA2.2异面直线的判定【例2】在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________．(填上所有正确答案的序号)【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，GH与MN异面；图③中，GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H面GMN，∴GH与MN异面．答案②④;【评注】异面直线的判定定理是：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．即与是异面直线．【变式】反证法判定异面直线.如图，过同一点的三条直线不共面，是直线上的两点，分别是上的一点．证明：和是异面直线．【证明】假设和共面于，则：，∵，∴．又∵共点，∴，∴，直线上各有两点在内，∴，这与直线不共面矛盾．故和是异面直线．2
