福建省福州市南侨中学等五校2015届高三上学期期末摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1}B．{﹣1}C．{﹣1，1}D．{0}2．（5分）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．1或﹣23．（5分）在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积（）A．B．2C．D．4．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．x+≥2D．a2+b2≥，a，b∈R5．（5分）函数y=loga（|x|+1）（a＞1）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y=2x﹣2B．y=（x2﹣1）C．y=log2xD．y=x7．（5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥nB．α∥β，l⊂α⇒l⊥β1C．l⊥n，m⊥n⇒l∥mD．l⊥α，l∥β⇒α⊥β8．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=xB．y2=3xC．y2=xD．y2=9x9．（5分）设f为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕方程式相异实根的个数f（x）﹣20=01f（x）﹣10=03f（x）=03f（x）+10=01f（x）+20=01关于f的极小值a﹐试问下列哪一个选项是正确的（）A．﹣20＜a＜﹣10B．﹣10＜a＜0C．0＜a＜10D．10＜a＜2010．（5分）将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是．212．（4分）已知两个单位向量，的夹角为30°，=t+，=﹣t．若•=0，则正实数t=．13．（4分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是．14．（4分）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．15．（4分）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B．若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是．（用k表示）三、解答题（本大题共5小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤．）16．（13分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）（x∈R），设函数f（x）=•﹣1．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．17．（13分）已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，a3=7，其前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1=2，且b2S2=32．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）证明++…+＜．318．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．19．（13分）设椭圆E：+=1（a，b＞0），短轴长为4，离心率为，O为坐标原点，（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极...
