第四章第一节平面向量的概念及其线性运算题组一向量的基本概念1.给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若＝，则四边形ABCD为平行四边形；④在▱ABCD中，一定有＝；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c，其中不正确的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的是③④⑤.答案：B2．下列四个命题，其中正确的个数有()①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na③若ma＝mb(m∈R)，则有a＝b④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则有m＝nA．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有③不正确，∵a≠b，m＝0时，ma＝mb也成立，其余①②④均成立．答案：C题组二向量的线性运算3.若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．答案：C4．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝()1A．－＋B．－－C．－D.＋解析：＝＋＝－＋.答案：A5．(2009·安徽高考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中，λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析：如图，∵ABCD为▱，且E、F分别为CD、BC中点．∴＝＋＝(－)＋(－)＝(＋)－(＋)＝(＋)－，∴＝(＋)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.答案：6．如图，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，＋.解：＝＋＋＝－a＋b＋c.∵＝＋＋，＝＋＋，∴2＝＋＋＋＋＋＝＋＝－＋＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c，∴＝a－b－c.＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c.题组三向量的共线问题7.(2009·湖南高考)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a＋b＝0知道a与b互为相反向量，从而a∥b，充分性成立.由a∥b知a＝λb.λ≠－1时，a＋b≠0，∴必要性不成立．答案：A8．设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e1、b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示另一组基向量a、b的线性组合，则e1＋e2＝________a＋________b.2解析：设e1＋e2＝xa＋yb，即e1＋e2＝(x－y)e1＋(2x＋y)e2.∴∴x＝，y＝－.答案：－题组四向量线性运算的综合应用9.已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若－4＋3＝0，则＝________A.B.C．2D．3解析：∵－4＋3＝0，∴(－)－3＋3＝0，即－＝3(－)，∴＝3，∴＝3.答案：D10．非零不共线向量、，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2.答案：A11．(2009·湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________.解析：法一：以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，3令AB＝2.则＝(2,0)，＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线为F，由已知得DF＝BF＝，则＝(2＋，)．∵＝x＋y，∴(2＋，)＝(2x,2y)．即有解得法二：过D作DF⊥AB交DB的延长线为F.由已知可求得BF＝DF＝AB，＝＋＝(1＋)＋，所以x＝1＋，y＝.答案：1＋12．(文)如图，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．解：∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，又∵＝，∴＋λ＝，即λ＝，∴λ＝.(理)如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若＝x，＝y，求＋的值．解：设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，＝＝(＋)＝(a＋b)．∴＝－＝(a＋b)－xa＝(－x)a＋b，＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴(－x)a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.∵a与b不共线，∴消去λ，得＋＝4，∴＋为定值．4
