第十一章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理题组一分类加法计数原理的应用1.右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为()A．15B．16C．17D．18解析：只需A处给D处10件，B处给C处5件，C处给D处1件，共16件次．答案：B2．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是()A．120B．98C．63D．56解析：分两类：第一类A，B，C三门课都不选，有＝35种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有＝63种方案．故共有35＋63＝98种方案．答案：B3．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．解析：分三类：甲在周一，共有种排法；甲在周二，共有种排法；甲在周三，共有种排法．∴＋＋＝20.答案：20题组二分步乘法计数原理4.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A．504B．210C．336D．120解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7,8,9种方法，∴插法种数为7×8×9＝504或÷＝504.答案：A5．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()1A．6个B．9个C．18个D．36个解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．答案：C6．(2010·本溪模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P—ABC与正三棱柱ABC—A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P—ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有×××＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：127．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色．(1)若n＝6，则为甲图着色的不同方法共有________种；(2)若为乙图着色时共有120种不同方法，则n＝________.解析：(1)由分步乘法计数原理，对区域①②③④按顺序着色，共有6×5×4×4＝480种方法．(2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块．同样利用分步乘法计数原理，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.所以(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，n2－3n＋12＝0(舍去)，解得n＝5，n＝－2(舍去)．答案：(1)480(2)5题组三两个计数原理的综合应用8.(2010·淮阴模拟)已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A．18B．10C．16D．14解析：M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个)．答案：D9．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如2120,343,275等)，那么所有凸数个数为()A．240B．204C．729D．920解析：分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种；当中间数为3时，有2×3＝6种；当中间数为4时，有3×4＝12种；当中间数为5时，有4×5＝20种；当中间数为6时，有5×6＝30种；当中间数为7时，有6×7＝42种；当中间数为8时，有7×8＝56种；当中间...
