第六章第三节不等式的证明题组一比较法证明不等式1.若x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则M,N的大小关系是()A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定解析:由2M-2N=2(x2+y2+1)-2(x+y+xy)=(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2≥0即可得出答案.答案:A2.已知a,b∈R+,那么“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若a2+b2<1,则a<1,b<1,故ab+1-(a+b)=(1-a)(1-b)>0;若ab+1>a+b,则ab+1-(a+b)=(1-a)(1-b)>0,则或即或故a2+b2<1不一定成立.答案:A3.设a>b>0,求证:>.证明:法一:∵a>b>0,∴左边-右边==>0,故原不等式成立.法二:∵=×==1+>1,且由a>b>0,知>0且>0,∴>.题组二综合法、分析法证明不等式4.已知函数f(x)=()x,a,b∈R+,A=f(),B=f(),C=f(),则A、B、C的大小关系为()A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A解析:≥≥,又f(x)=()x在R上是单调减函数,∴f()≤f()≤f().答案:A5.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是()A.f(2.5)f(1)>f(3.5)1C.f(3.5)>f(2.5)>f(1)D.f(1)>f(3.5)>f(2.5)解析:因为函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,所以x=2是对称轴,在(2,4)上为减函数,由图象知f(2.5)>f(1)>f(3.5).答案:B6.若P=+,Q=+(a≥0),则P、Q的大小关系是()A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值确定解析:∵要证P<Q,只要证P2<Q2,只要证:2a+7+2<2a+7+2,只要证:a2+7a<a2+7a+12,只要证:0<12,∵0<12成立,∴P<Q成立.答案:C7.设a,b均为正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.证明:法一:(分析法)要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.又因为a+b>0,只需证a2-ab+b2>ab成立.又需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立.而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立,由此命题得证.法二:(综合法)a≠b⇒a-b≠0⇒(a-b)2>0⇒a2-2ab+b2>0⇒a2-ab+b2>ab.(*)而a,b均为正数,∴a+b>0,由(*)式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),∴a3+b3>a2b+ab2.题组三证明不等式的其他方法8.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,则++的值()A.一定是正数B.一定是负数C.可能是0D.正负不能确定解析:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,且a2+b2+c2>0(由abc>0知a,b,c均不为0),∴ab+bc+ca<0,因此++=<0.答案:B9.已知a,b,μ∈(0,+∞)且+=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.解析:∵a,b∈R+且+=1,∴a+b=(a+b)(+)=10+(+)≥10+2=16,∴a+b的最小值为16.∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ,∴0<μ≤16.答案:(0,16]210.已知点Pn(an,bn)都在直线l:y=2x+2上,P1是直线l与x轴的交点,数列{an}是公差为1的等差数列(n∈N*).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若f(n)=问是否存在k∈N*,使得f(k+5)=2f(k)-2成立,若存在,求出k值;若不存在,请说明理由;(3)求证:++…+<(n≥2,n∈N*).解:(1)P1(-1,0),an=-1+(n-1)×1=n-2,bn=2(n-2)+2=2n-2.(2)f(n)=假设存在符合条件的k,①若k为偶数,则k+5为奇数,有f(k+5)=k+3,f(k)=2k-2,如果f(k+5)=2f(k)-2,则k+3=4k-6⇒k=3与k为偶数矛盾.②若k为奇数,则k+5为偶数,有f(k+5)=2k+8,f(k)=k-2,如果f(k+5)=2f(k)-2,则2k+8=2k-6,这样的k也不存在.故不存在符合条件的k.(3)∵Pn(n-2,2n-2),∴|P1Pn|=(n-1)(n≥2),∴++…+=<=<.3