第八章第八节双曲线题组一双曲线的定义及标准方程1.设F1、F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．5B．2C．4D．3解析：依题意得|PF1|＝|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2，由此解得|PF2|＝6，|PF1|＝8，又|F1F2|＝2＝4，因此cos∠F1PF2＝＝，sin∠F1PF2＝＝，△PF1F2的面积＝×6×8×＝3.答案：D2．(2009·银川质检)已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足1MF�·2MF�＝0，|1MF�|·|2MF�|＝2，则该双曲线的方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1解析： 1MF�·2MF�＝0，∴1MF�⊥2MF�，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，∴(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36，∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为－y2＝1.答案：A题组二双曲线的几何性质3.已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.B.C.D.解析： c2＝a2＋b2＝9，∴c＝3.∴F1(－3,0)，F2(3,0)，当x＝－3时，－＝1，∴y＝±，即M(－3，±)，∴|MF2|＝，设F1N⊥MF2于N，则|MF2|·|F1N|＝|MF1|·|F1F2|，∴|F1N|＝＝＝.答案：C4．(2009·江西高考)设F1和F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.B．2C.D．31解析：＝tan60°，＝⇒4b2＝3c2⇒4(c2－a2)＝3c2⇒c2＝4a2⇒＝4⇒e＝2.答案：B5．(2010·广州模拟)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋)D．(2,1＋)解析：如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF<45°.又当x＝－c时，y＝，∴tan∠AEF＝＝<1，∴e2－e－2<0，又e>1，∴10，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于()A．b－aB．a－bC.D．a＋b解析：如图，F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF1|-|PF2|=2a.又M为PF的中点，∴|MF1|-|OM|=a，即|OM|=|MF1|-a.又直线PF1与圆相切，∴|F1T|＝＝b，∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF1|－|F1T|)＝|F1T|－a＝b－a.答案：A8．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：由题意知，A(3,0)，F(5,0)，渐近线斜率k＝±，则直线方程为y＝(x－5)，2代入－＝1，得x＝，∴y＝－，即B(，－)，∴S△AFB＝×2×＝.答案：题组四双曲线的综合问题9.(2010·德州模拟)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：510.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图所示)，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土才能最省工．解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．设M是分界线上的点，则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A、B为焦点的双曲线的右支．在△APB中，由余弦定理得，|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos60°=17500，从而a=25，c2=24AB=4375，b2=c2-a2...
