第八章七节抛物线题组一抛物线的定义及应用1.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|解析：由抛物线的定义知，|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋， 2x2＝x1＋x3，∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.答案：C2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D．12或－2解析：设标准方程为x2＝－2px(p＞0)，由定义知p到准线距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.答案：C题组二抛物线的标准方程及几何性质3.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是()A.B.C．1D.解析：抛物线化标准方程为x2＝y，准线方程为y＝－，M到准线的距离为1，所以到x轴的距离等于1－＝.答案：D4．(2009·山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：不论a值正负，抛物线的焦点坐标都是(，0)，故直线l的方程为y＝2(x－)，令x＝0得y＝－，故△OAF的面积为×||×|－|＝＝4，故a＝±8.答案：B15．(2009·宁夏、海南高考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为____________．解析：设抛物线方程为y2＝ax.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y＝ax1，①y＝ax2，②∴①－②得y－y＝a(x1－x2)，∴(y1＋y2)·＝a，∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.答案：y2＝4x题组三直线与双曲线的位置关系6.已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或B.或C.或D.解析：抛物线焦点是(，0)，设直线方程为y＝k(x－)，代入抛物线方程，得k2x2－(3k2＋6)x－k2＝0，设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋3＝12，解得k＝±1，∴直线的倾斜角为或.答案：B7．(2010·安徽名校联考)已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为()A．－B．－C.D.解析：由题意得M(2,2)，设P(122y，y1)，Q(222y，y2)，由kMP＝－kMQ，得＝－，推得y1＋y2＝－4，故kPQ＝＝＝－.答案：B8．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.∪C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－)∪(，＋∞)解析：过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线方程为＝，即4x－ty－t＝0，由得2tx2－4x＋t＝0，2Δ＝16－4×2t2<0，∴t<－或t>.答案：D题组四抛物线的综合问题9.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．解：(1)依题意，得＋4＝5，∴p＝2.∴抛物线标准方程为y2＝4x.(2)证明：设圆心C的坐标为，半径为r. 圆心C在y轴上截得的弦长为4，∴r2＝4＋2，故圆心C的方程为2＋(y－y0)2＝4＋2，从而变为y－2yy0＋(x2＋y2－4)＝0，①对于任意的y0∈R，方程①均成立，故有解得所以，圆C过定点(2,0)．10．(2010·沈阳模拟)如图，F为抛物线y2＝2px的焦点，A(4,2)为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|＋|PF|的最小值为8.(1)求该抛物线的方程；(2)如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．解：(1)设P点到抛物线的准线x＝－的距离为d，由抛物线的定义知d＝|PF|，∴(|PA|＋|PF|)min＝(|PA|＋d)min＝＋4，∴＋4＝8⇒p＝8，∴抛物线的方程为y2＝16x.(2)由(1)得F(4,0)，设直线l的方程为y＝k(x－4)，显然k≠0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，把直线方程代入抛物线，得k2x2－(8k2＋16)x＋16k2＝0，x1＋x2＝，x1·x2＝16，∴|MN|＝×＝×＝×＝×16＝≥32，∴k2≤1，即－1≤k≤1，∴直线l斜率的取值范围为[－1,0)∪(0,1]，∴直...
