第九章第三节直线和平面垂直、平面和平面垂直题组一线面垂直的判定与性质1．如图在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．答案：A2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：如图所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.答案：D3．m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确．答案：①④题组二平面与平面垂直的判定与性质4.设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是()1A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a解析：C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面．答案：C5．三棱锥P－ABC中∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是()A．平面PAC⊥平面ABCB．平面PAB⊥平面PBCC．PB⊥平面ABCD．BC⊥平面PAB解析：如图，因为∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，所以点P在底面的射影落在△ABC的斜边的中点O处，所以PO⊥平面ABC.又 PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.答案：A6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：如图所示， DF∥BC，∴BC∥平面PDF.∴A正确；连接AE、PE，则AE⊥BC，PE⊥BC.所以BC⊥平面PAE. BC∥DF，∴DF⊥平面PAE，故B正确； BC⊥平面PAE，∴平面ABC⊥平面PAE.答案：C题组三三垂线定理及其逆定理的应用7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面2MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD的射影是O.(1)求证：平面O1DC⊥平面ABCD；(2)若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD.解：如图，(1)证明：连结AC，BD，A1C1，则O为AC、BD的交点，O1为A1C1、B1D1的交点．由平行六面体的性质知：A1O1∥OC，且A1O1＝OC，∴四边形A1OCO1为平行四边形，∴A1O∥O1C. A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD.又 O1C⊂平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD.(2)作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH∥A1O，点H在直线AC上，且EF在平面ABCD上的射影为HF.由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD，∴HF∥AB， AE＝2EA1，∴AH＝2OH，从而CH＝2AH.又 HF∥AB，∴CF＝2BF，从而EF⊥AD⇒CF＝2BF，∴当F为BC的三等分点(靠近B)时，有EF⊥AD.题组四直线、平面垂直的综合应用9.如图所示，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝AD；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明：(1)取EC的中点F，连结DF. EC⊥平面ABC，∴EC⊥BC.又 BD∥EC，EC＝2BD，∴EF＝EC＝BD.DF＝BC＝AB，且DF⊥EC.∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴DE＝DA.(2)取CA的中点N，连结MN、BN.则MN綊EC，又BD綊EC，∴MN綊BD. EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又BN⊥CA.∴BN⊥平面EAC.3又BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面EAC.(3) 由(2)知DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA DM⊂平面DEA，∴平面DEA...
