第七章第三节空间、直线、平面之间的位置关系题组一共线、共面问题1.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1到于点M，则下列结论正确的是()A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线．答案：A2．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．证明：∵AB∥CD，∴AB、CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F、G、H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，1∴E、F、G、H四点必定共线．题组二异面直线4.在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是()A．相交直线B．平行直线C.不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线解析：四棱台可看作是由四棱锥截得的，因此DD1与BB1所在直线是相交的．答案：A5．(2010·沈阳模拟)正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：A6．(文)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是()A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面解析：设AB的中点为E1，BC的中点为F1，则EF∥E1F1，而E1F1⊥BD，E1F1⊥BB1∴EF⊥BB1，EF⊥BD，∴A、B项正确．2又由EF∥E1F1知EF∥平面ABCD∴EF与CD异面，C项正确．∴易知EF∥A1C1，D项错误．答案：D(理)(2010·南昌模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．解析：取A1C1的中点D1，连结B1D1，由于D是AC的中点，∴B1D1∥BD，∴∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连结AD1，设AB＝a，则AA1＝a，∴AB1＝a，B1D1＝a，AD1＝＝a.∴cos∠AB1D1＝＝，∴∠AB1D1＝60°.答案：60°7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．解：连结B1G，EG，由于E、G分别是DD1和CC1的中点，∴EG綊C1D1，而C1D1綊A1B1，∴EG綊A1B1，∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线所成角，连结B1F，则FG＝，B1G＝，B1F＝，由FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°.题组三综合问题8.(2010·淄博模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为()解析：到定点B的距离等于到直线A1B1的距离，所以动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．答案：C39．(2010·大连模拟)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)(文)求证AE与PB是异面直线．(理)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A－EBC的体积．解：(1)(文)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．(理)取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝，AE＝，EF＝；cos∠AEF＝＝，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA＝1，VA－EBC＝VE－ABC＝×(×2×2×)×1＝.4
