第七章第一节直线的斜角与斜率、直线的方程题组一直线的倾斜角和斜率1.(2010·南通模拟)已知直线l过点(m,1)，(m＋1，tanα＋1)，则()A．α一定是直线l的倾斜角B．α一定不是直线l的倾斜角C．α不一定是直线l的倾斜角D．180°－α一定是直线l的倾斜角解析：设θ为直线l的倾斜角，则tanθ＝＝tanα，∴α＝kπ＋θ，k∈Z，当k≠0时，θ≠α.答案：C2．如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则()A．ksinα>0B．kcosα>0C．ksinα≤0D．kcosα≤0解析：显然k<0，<α<π，∴cosα<0，∴kcosα>0.答案：B3．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是________．解析：设直线AB的倾斜角为2α，则直线l的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0°≤α＜90°，由tan2α＝＝，得tanα＝，即直线l的斜率为.答案：题组二求直线的方程4.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为()A．x＋2y－6＝0B．2x＋y－6＝0C．x－2y＋7＝0D．x－2y－7＝0解析：设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则有＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝3，b＝6时取“＝”．∴直线方程为2x＋y－6＝0.答案：B5．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()1A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0D．2x＋y－7＝0解析：由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|＝|PB|，故直线PB的倾斜角为135°，又当x＝2时，y＝3，即P(2,3)，∴直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.答案：A6．(2009·上海春季高考)过点A(4，－1)和双曲线－＝1右焦点的直线方程为________．解析：由于a2＝9，b2＝16，∴c2＝25，故右焦点为(5,0)．所求直线方程为＝，即x－y－5＝0.答案：x－y－5＝0题组三直线方程中参数的确定7.已知直线l1，l2的方程分别为x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，其图象如图所示，则有()A．ac<0B．ad解析：由图可知，a、c均不为零．直线l1的斜率、在y轴上的截距分别为：－，－；直线l2的斜率、在y轴上的截距分别为：－，－，由图可知－<0，－>0，－<0，－<0，－>－，于是得a>0，b<0，c>0，d>0，a>c，所以只有bd<0正确．答案：C8．(2008·浙江高考)已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.解析：∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kBC，即＝，又a>0，∴a＝1＋.答案：1＋9．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且AC�＝2CB�，则a等于()A．2B．1C.D.解析：设点C(x，y)，由于AC�＝2CB�，所以(x－7，y－1)＝2(1－x,4－y)，所以有⇒，又点C在直线y＝ax上，所以有3＝a，a＝2.答案：A2题组四直线方程的应用10.若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是________．解析：数形结合．在同一坐标系内画出函数y＝kx，y＝|x－1|的图象如图所示，显然k≥1或k＝0时满足题意.答案：k≥1或k＝011．已知点A(2,3)，B(－5,2)，若直线l过点P(－1,6)，且与线段AB相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．解析：如图所示，kPA＝＝－1，∴直线PA的倾斜角为，kPB＝＝1，∴直线PB的倾斜角为，从而直线l的倾斜角的范围是[，]．答案：[，]12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是k≥0.(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A(－，0)，B(0,1＋2k)，又－<0且1＋2k>0，∴k>0，故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)＝(4k＋＋4)≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.3
