福建省长泰一中高考数学一轮复习《解三角形》教案（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(二)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时三角形中的有关问题1．正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．⑴已知三边，求三角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．3．三角形的面积公式：例1.在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c．解A1＝60°C1＝75°c1＝A2＝120°C2＝15°c2＝变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）用心爱心专心1典型例题基础过关知识网络考纲导读高考导航A．B．C．D．解：B提示：利用余弦定理解：A提示:在△ABC中，由知角B为锐角（4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是．解：提示：由可得（5）在△ABC中，=．解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得例2.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．解：sinA＝2sinBcosCsin(B＋C)＝2sinBcosCsin(B－C)＝0B＝Csin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2∠A＝90°∴△ABC是等腰直角三角形。变式训练2：在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.例3.已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，所以sinB(sinA－cosA)＝0用心爱心专心2∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴cosA＝sinA，由A∈(0,π)，知A＝从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝∴A＝B＝C＝变式训练3：已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为.（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得2（－）=（a－b）.又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==.又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+.∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.例4.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝()．(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；(2)求y＝的最大值与最小值．解(1)AG＝，∠由正弦定理得，，用心爱心专心3ANCBDMG（(2)∵∴当当变式训练4：在在△ABC中，所对的边分别为，，且（1）求的值；（2）若，求的最大值；解：（1）因为，故（2）又，当且仅当时，故的最大值是1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题用心爱心专心4小结归纳小结归纳
