专训2四种常见的几何关系的探究位置关系1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN.(第1题)相等关系2．【2015·珠海】已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图①，连接BD，AF，则BD________AF.(填“＞”“＜”或“＝”)(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：BH＝GF.(第2题)和差关系3．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．(第3题)不等关系4．【2016·贵阳】(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________________________________________________________________________；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD,∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．(第4题)答案1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA.∴∠3＝∠N.∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN.(第1题)2．(1)＝(2)证明：将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图，(第2题)∵MN∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，易得∠GRC＝∠RGC，∴△CGR是等腰三角形．∴CG＝CR.又∵MN∥BF，CR∥EH，∴四边形RCEH为平行四边形，∴CR＝EH.∴CG＝HE.由平移的性质得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.易得∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.3．解：猜想：EF＝BE＋AF.证明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，∠BCA＝α＝∠BEC，∴∠CBE＝∠ACF.又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.4．(1)2
EG，∴BE＋CF>EF.(3)解：BE＋DF＝EF.证明如下：如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D.∵CB＝CD，∴△CBG≌△CDF(SAS)．∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF＋∠BCE＝70°.∴∠BCE＋∠BCG＝70°.∴∠ECG＝∠ECF＝70°.∵CE＝CE，CG＝CF，∴△ECG≌△ECF(SAS)．∴EF＝EG.∵BE＋BG＝EG，∴BE＋DF＝EF.
