核心素养测评二十二三角函数的图像与性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.既是偶函数又在区间(0,π)上减少的函数是()A.y=sin2xB.y=sinxC.y=cos2xD.y=cosx【解析】选D.y=sin2x和y=sinx都是奇函数,不合题意;y=cos2x和y=cosx都是偶函数,y=cos2x在区间(0,π)上不是单调函数,不合题意,y=cosx在区间(0,π)上是减少的,符合题意.2.(2020·芜湖模拟)已知函数y=2cosx的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是()A.2B.3C.+2D.2-【解析】选B.因为x∈,所以cosx∈,故y=2cosx的值域为[-2,1],所以b-a=3.3.(2020·东莞模拟)由y=2sin的图像向左平移个单位,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,所得图像对应的函数解析式为()A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin【解析】选D.由y=2sin的图像向左平移个单位,可得y=2sin=2sin的图像,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得y=2sin的图像.4.设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)在x=时取得最大值,则函数g(x)=cos(2x+φ)的图像()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称【解析】选A.因为x=时,f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)取最大值,所以φ=,即g(x)=cos,对称中心,对称轴x=-.5.(2020·太原模拟)若函数f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1,则ω=世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选C.因为0<ω<1,0≤x≤,所以0≤ωx<,所以f(x)在区间上单调递增,则f(x)max=f=2sin=1,即sin=.又因为0≤ωx<,所以=,解得ω=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数f(x)=cos(0<φ<π)是奇函数,则φ=.【解析】因为f(x)为奇函数,所以φ-=+kπ(k∈Z),φ=+kπ,k∈Z.又因为0<φ<π,所以φ=.答案:【变式备选】已知函数f(x)=2sin是偶函数,则θ的值为.【解析】因为f(x)为偶函数,所以θ+=kπ+(k∈Z),又θ∈,所以θ+=,解得θ=,经检验符合题意.答案:7.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f=.【解析】因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.又因为0≤≤π,所以f=f=sin=.答案:8.(2018·北京高考)设函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为.世纪金榜导学号【解析】由已知,当x=时,f(x)取得最大值,由三角函数图像与性质,ω-=0+2kπ(k∈Z),即ω=+8k(k∈Z),又ω>0,所以当k=0时,ω有最小值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·大同模拟)已知函数f(x)=sin.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)因为当x∈时,≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.10.(2019·厦门模拟)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)的图像与x轴的两个相邻交点是A(0,0),B(6,0),C是函数f(x)图像的一个最高点.a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,满足(a+c)(sinC-sinA)=(a+b)sinB.世纪金榜导学号(1)求函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图像向左平移1个单位后,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递减区间.【解析】(1)由题意得sinφ=0,所以φ=0,=6,所以ω===,由正弦定理得(c+a)(c-a)=(a+b)b,整理得=-,即cosC=-,又C∈(0,π),所以C=.在△ABC中,易知AC=BC,所以A=,取AB的中点D易得CD=,即M=,所以f(x)=sinx.(2)函数f(x)图像向左平移1个单位,得f(x+1)=sin,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得g(x)=sin,由2kπ+≤+≤2kπ+(k∈Z),解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z).所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z).(15分钟35分)1.(5分)(2020·蚌埠模拟)已知函数f(x)=sinωx(ω>0)的图像关于点对称,且f(x)在上为增函数,则ω=()A.B.3C.D.6【解析】选A.因为函数f(x)=sinωx的图像关于点对称,所以π=kπ(k∈Z),即ω=k(k∈Z),①又因为函数f(x)=sinωx在区间上为增函数,所以≤且ω>0,所以0<ω≤2,②由①②得ω=.2.(5分)(2020·运城模拟)设函数f(x)=3sin,若存在这样的实数x1,x2,对任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为.【解析】f(x)=3sin的周期T=2π×=4,f(x1),f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为=2.答案:23.(5分)...
