核心素养测评二十一三角恒等变形(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.计算coscos-sinsin的值为()A.B.C.D.1【解析】选B.由两角和与差的余弦公式得coscos-sinsin=cos=cos=.2.(2020·太原模拟)若2sinx+cos=1,则cos2x=()A.-B.-C.D.-【解析】选C.因为2sinx+cos=1,所以3sinx=1,所以sinx=,所以cos2x=1-2sin2x=.3.(2019·厦门模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-,2),则tan的值为()A.-3B.-C.-D.-【解析】选A.因为角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-,2),所以tanα==-,则tan===-3.4.(2020·渭南模拟)tan18°+tan12°+tan18°tan12°=()A.B.C.D.【解析】选D.因为tan30°=tan(18°+12°)==,所以tan18°+tan12°=(1-tan18°tan12°),所以原式=.5.(2019·武汉模拟)已知α∈,cos=,则sinα的值等于()A.B.C.D.-【解析】选C.由已知sin==,则sinα=-cos=sinsin-coscos=×-×=.6.(1+tan18°)·(1+tan27°)的值是()A.B.1+C.2D.2(tan18°+tan27°)【解析】选C.原式=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+tan45°(1-tan18°tan27°)=2.7.已知tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两根,若α,β∈,则α+β等于()世纪金榜导学号A.B.或-πC.-或πD.-π【解析】选D.由已知得tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=4,所以tanα<0,tanβ<0,又α,β∈,所以α,β∈,所以-π<α+β<0.又tan(α+β)===,所以α+β=-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2020·长春模拟)函数f(x)=sin+sinx的最大值为.【解析】f(x)=sin+sinx=sinx+cosx+sinx=sinx+cosx==sin≤,所以最大值为.答案:9.若tanα=,则cos2α=.【解析】因为tanα=,所以cos2α===-.答案:-10.设α∈,β∈,且5sinα+5cosα=8,sinβ+cosβ=2,则cos(α+β)的值为.世纪金榜导学号【解析】由5sinα+5cosα=8得sin=,因为α∈,α+∈,所以cos=.又β∈,β+∈,由sinβ+cosβ=2,得sin=,所以cos=-,所以cos(α+β)=sin=sin=sin·cos+cos·sin=-.答案:-(15分钟35分)1.(5分)已知cos=3sin,则tan=()A.4-2B.2-4C.4-4D.4-4【解析】选B.由已知-sinα=-3sin,即sin=3sin,sin·cos-cossin=3sincos+3cossin,整理可得tan=-2tan=-2tan=-2×=2-4.2.(5分)(2020·运城模拟)已知tan(α+β)=2,tanβ=3,则sin2α=()A.B.C.-D.-【解析】选C.由题意知tanα=tan[(α+β)-β]==-,所以sin2α===-.3.(5分)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β)的值为()A.B.C.D.0【解析】选A.不妨设大、小正方形边长分别为3,2,cosα-sinα=,①sinβ-cosβ=,②由图得cosα=sinβ,sinα=cosβ,①×②得=cosαsinβ+sinαcosβ-cosαcosβ-sinαsinβ=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),解得cos(α-β)=.4.(10分)(2020·铜川模拟)已知函数f(x)=2sinxsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.世纪金榜导学号【解析】(1)因为f(x)=2sinx=×+sin2x=sin+,所以函数f(x)的最小正周期为T=π.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.(2)当x∈时,2x-∈,sin∈,f(x)∈.故f(x)的值域为.5.(10分)(2019·枣庄模拟)已知sinα+cosα=,α∈,sin=,β∈,世纪金榜导学号(1)求sin2α和tan2α的值.(2)求cos(α+2β)的值.【解析】(1)由已知(sinα+cosα)2=,所以1+sin2α=,sin2α=,又2α∈,所以cos2α==,所以tan2α==.(2)因为β∈,所以β-∈,又sin=,所以cos=,所以sin2=2sincos=,又sin2=-cos2β,所以cos2β=-,又2β∈,所以sin2β=,cos2α==,cosα=,sinα=.所以cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=×-×=-.
