核心素养测评三十一简单线性规划(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020·台州模拟)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是()A.3B.6C.9D.12【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图:其中A(2,0),C(0,2),由得,即B(2,3),则|AB|=3,△ABC中AB边上的高为2,则△ABC的面积S=×3×2=3.2.已知实数x,y满足则2x-y()A.有最小值,无最大值B.有最大值,无最小值C.有最小值,也有最大值D.无最小值,也无最大值【解析】选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.设2x-y=z,则y=2x-z,z表示直线在y轴上的截距的相反数.平移直线y=2x-z,可得当直线过点A时z取得最小值,z没有最大值.3.(2020·人大附中模拟)已知实数x,y满足则的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+∞)D.【解析】选D.实数x,y满足表示的可行域如图:的几何意义是:可行域内的点与坐标原点的距离,可知P到原点的距离最小,即=.则的取值范围是.4.若点A(-2,1),点B(2,-1)在直线x+ay-1=0的两侧,则a的取值范围是()A.(1,3)B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(-3,-1)D.(-∞,-3)∪(-1,+∞)【解析】选B.因为点A(-2,1),点B(2,-1)在直线x+ay-1=0的两侧,所以(-2+a-1)(2-a-1)<0,即(a-3)(1-a)<0,得(a-3)(a-1)>0,得a>3或a<1,即实数a的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).5.(2019·潍坊模拟)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为()A.3B.6C.8D.10【解析】选D.作出不等式组表示的平面区域如图:作出直线l:x-2y=0,当直线l往下平移时,z=x-2y变大,当直线l经过点A(2,-4)时,zmax=2-2×(-4)=10.6.若变量x,y满足约束条件则z=(x-1)2+y2的最大值为()A.4B.C.17D.16【解析】选C.z=(x-1)2+y2表示可行域内的点(x,y)与点P(1,0)间距离的平方.画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知P(1,0)与A(2,4)间的距离最大,因此zmax=(2-1)2+42=17.7.(2019·大庆模拟)已知实数x,y满足则z=ax+y(a>0)的最小值为世纪金榜导学号()A.0B.aC.2a+2D.-2【解析】选D.由实数x,y满足作出可行域如图,化目标函数z=ax+y(a>0)为y=-ax+z,由图可知,当直线y=-ax+z过A(0,-2)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2020·鹰潭模拟)设变量x,y满足约束条件,则z=x-2y+6的最大值为.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x-2y+6得直线l:y=x+3-z,平移直线l,由图像可知当直线l经过点O(0,0)时截距最小,此时z最大,zmax=6.即z的最大值是6.答案:6【变式备选】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为.【解析】由约束条件作可行域如图,联立解得A(2,3),由图可知,当直线z=x+2y过A时,z有最小值为2+2×3=8.答案:89.若点M(x,y)(其中x,y∈Z)为平面区域内的一个动点,已知点A(3,4),O为坐标原点,则·的最小值为.【解析】因为点A坐标为(3,4),点M坐标为(x,y),所以z=·=3x+4y,作出不等式组表示的平面区域,如图所示,其中可得B(3,1),将直线l:z=3x+4y进行平移,可得当l经过点B时,目标函数z有最小值,z最小值=3×3+4×1=13.答案:1310.(2020·湖州模拟)已知实数x,y满足实数x,y构成的平面区域的面积等于,则目标函数z=2x-y的最大值是.世纪金榜导学号【解析】作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).由解得B(1,0),由解得A(2,3),同理C(0,1),满足条件的实数x,y构成的平面区域的面积等于:×2-×1×1-×1×3=2.由z=2x-y得y=2x-z.平移直线y=2x-z,由图可知当直线y=2x-z经过点B时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,此时z最大.代入目标函数z=2x-y得z=2×1-0=2.即目标函数z=2x-y的最大值为2.答案:22(15分钟30分)1.(5分)已知平面区域Ω1:x2+y2≤9,Ω2:则点P(x,y)∈Ω1是P(x,y)∈Ω2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.平面区域Ω1:x2+y2≤9表示圆以及内部部分;Ω2:的可行域如图三角形区域:则点P(x,y)∈Ω1是P(x,y)∈Ω2的必要不充分条件.2.(5分)设变量x,y满足约束条件则z=|x-3y|的最大值为()A.10B.8C.6D.4【解析】选B.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.当平移直线x-3y=0过点A时,m=x-3y取最大值;当平移直线x-3y=0过点C时,m=x-3y取最小值.由题意可得A(-2,-2),C(-2,2),所以mmax=-2-3×(-2)=4,mmin=-2-3×2=-8,所以-8≤m≤4,所以|m|≤8,即zmax=8....
